Lecture inel 17 factor

Conceptul de ideal

inele

H similar cu cel al grupului normal de divizorul G. Această construcție permite să se apropie de inelul câtul

în același mod ca și în construcția grupului de factor G / H.

lăsa

- ideale

Deoarece inelul de bază

Este un grup abelian aditiv

, ca inele elemente Quotient pot selecta claselor

, unde

, care nazyvayutsyaklassami resturile modulo un ideal inel.

Teorema. O multitudine de aditivi claselor

inel factor de formă

cu operațiuni:

În plus, harta naturala vidayavlyaetsyaepimorfizmom (

- surjective).

Dovada. Grupul abeliene

orice subgrup

normală, pentru că , Prin urmare, expresia (1) definește un inel grup câtul Abelian, iar maparea este pe aditive grupurile abeliene G și

Rămâne să verifice dacă expresia (2) definește în mod clar multiplicarea pe setul de aditivi claselor

, și anume Ea nu depinde de alegerea reprezentanților claselor.

lăsa

- reprezentanți ai celor două claselor

și

, și anume

Rămâne să arătăm că

Într-adevăr, din moment ce

și

- ideală în K, atunci,

prin urmare

Ele sunt în același coset cu elemente

, ceea ce înseamnă că produsul (2) este adevărată.

Exemplu. Luați în considerare inelul de numere întregi

. Ideal este ca inelul

, și anume setul de numere întregi divizibile cu m fără urmă.

inel adiacent Additive Clasa de K ideală

Ea are forma în cazul în care.

O pluralitate de aditiv conține exact claselor

clase de reziduuri modulo

, și au forma:

Astfel, elementele inelare ale factorului

sunt clasele de reziduuri modulo

operațiuni

, pe koltsezadayutsya factor pe clase de reziduuri, ca și în trecut:

va Pentru fixe m, ca mai înainte, pentru a utiliza stenografie

Conceptul de inel factor

prin inelul ideale

Acesta vă permite să creați teorema de bază privind morfism de inele.

Definirea câmpului, proprietăți protozoare.

In orice inel

scădere se realizează - operația inversă de adăugare:

La punerea în aplicare a diviziunii operațiunilor - operația inversă înmulțirii în definiția inelului nu spune nimic. Se poate demonstra că în ceea ce privește operarea divizare inele diferite au proprietăți diferite. De exemplu, în inel chiar numere

împărțind un număr de altul se realizează numai în cazuri excepționale; în acel inel nu există nici un element, care să împartă toate elementele sale.

În inelul de numere întregi

diviziune a unui număr de altul se realizează în cazuri excepționale, dar toate elementele inelului împărțit la 1 și -1. În ring rationale

operațiune diviziune se efectuează întotdeauna cu excepția diviziunii de la zero.

Notă. Divizia de zero, este imposibilă în orice inel: element de divizare

0 - înseamnă a găsi un element în ring

, că

, dar atunci când

acest lucru nu este posibil, deoarece pentru fiecare element în ring

Algebra mai mare, în special, în matematică, în general, joacă un rol special inele comutative. Se realizează în care operarea diviziunii decât împărțirea cu zero. Acestea sunt numite câmpuri.

Dăm mai multe definiții ale câmpului, reflectând principalele sale caracteristici.

Opredelenie1. inel comutativ

nazyvaetsyapolem și notat

, în cazul în care conține cel puțin un element diferit de zero, iar în cazul în care se efectuează o operație de divizare decât divizare cu zero, adică pentru toate componentele sale