Intersecția și suma de subspatii

Fie U și W - subspațiu al spațiului vectorial V peste câmpul F.

Să presupunem că intersecția subspațiul U și W este un spațiu vectorial.

Notă. Combinând spații U și W nu este în mod necesar un spațiu vectorial așa cum se arată în exemplul următor.

Exemplu. Să presupunem, că este o mulțime de vectori de forma, în cazul în care. Baza acestui spațiu vectorial sunt e1 = (1,0) și e2 = (0,1). Și set U1 = U2 = - vectori liniari și cochilie, respectiv. Suma vektorovne conținute în

Opredelenie.SummoypodprostranstvU și W este cel mai mic subspațiul V. conținând U și W. adică

.

În general vorbind, este posibil să se determine valoarea oricărui număr finit de subspatii:

Fie U și W - subspațiu unui V. spațiu vectorial finit dimensional Apoi

Suma directă

1) Suma străine directe

Fie U și W - spațiu vectorial peste câmpul F.

Opredelenie.Pryamoy sum spații vectoriale U și W este numit produs cartezian V = U x W cu adaos de vectori și înmulțirea cu un scalar definit prin următoarea formulă:

Notă. Definită în acest mod se numește suma directă exterior. O verificare directă că suma directă externă a spațiilor vectoriale este un spațiu vectorial.

Să presupunem că suma directă externă prostranstvU și W are următoarea proprietate: în cazul în care u mapări liniare definite usloviyamitoyavlyaetsya sumă directă internă a subspațiile. Astfel,

2) Suma directă internă

Definiția. Spațiul V este suma directă a subspații vectoriale U1. U2. ..., Un, în cazul în care vektormozhet fiecare să fie reprezentat de unul și numai într-un fel ca o sumă

sum spațiile directe vectoriale notate cu V =.

Definită în acest mod se numește suma directă a interiorului.

Exemplu. Lăsați U1iU2 subspațiul determinat în același mod ca în exemplul 1. Apoi, suma este directă, adică V =.

V = suma este linia dacă și numai dacă oricare dintre următoarele două condiții:

2) V = dim dim + dim + ... + dim.

Corolar. Dacă n = 2, atunci V = valoarea este linia dacă și numai dacă = 0.

Pentru orice subspatiu m-dimensional al spatiului vectorial V U dimensiune n, există n - m - dimensional spațiu de W, astfel încât V =.

factor de spațiu

Fie L - spațiu liniar. - subspațiu. Definiți relația echivalență cu L după cum urmează: x

y ↔ x-ym, un vector. Diferite întrebări conduc la luarea în considerare a seturilor de forma:

,

„deplasează“ spațiu M liniar de vectorul l. Astfel de modificări nu sunt neapărat subspatii liniare L; acestea sunt numite subvarietăților liniare.

Lema. dacă și numai dacă și. Astfel, orice submanifold liniar determină în mod unic M. subspatiu liniar care este deplasat. Deplasarea vectorului este determinată până la un element al acestui subspațiu.

Definiția. spațiu Factor L / M spațiu liniar L M este multimea tuturor subvarietăților liniare de L, este deplasarea de M. subspațiul cu următoarele operații:

Aceste operații sunt bine definite și convertite în L / M în spațiul liniar deasupra câmpului.

a) Din definiția că grupul aditiv al L / M coincide cu raportul dintre grupul aditiv L a grupului de aditivi M. În particular, submanifold este zero în L / M.

b) Există o mapare canonică este surjectiv, iar straturile sale - prototipuri de elemente - sunt doar submanifold corespunzătoare acestor elemente.