Integrarea de piese

Să U (x) și V (x) - funcții derivabile. Apoi, d (U (x) V (x)) = U (x) dV (x) + V (x) dU (x). Prin urmare, U (x) dV (x) = d (U (x) V (x)) - V (x) dU (x). Prin calcularea integrală a acestei ecuații ambele părți, având în vedere că ∫ d (U (x) V (x)) = U (x) V (x) + C. obținem relația

Cu acest calculator online puteți calcula integralele de piese. Soluția este stocată în format Word.

Exemplul №1. Se calculează ∫ xe x dx.
Să U = x. dV = e x dx. Apoi dU = dx. V = e x. De aceea ∫ xe x dx = xe x - ∫ e x dx = xe x -e x + C.

Exemplul №2. Se calculează ∫ xcos (x) dx.
Presupunem U = x. V = cos (x) dx. Apoi dU = dx. V = sin (x) și ∫ xcos (x) dx = xsin (x) - ∫ sin (x) dx = xsin (x) + cos (x) + C

Atunci când se utilizează o formulă de integrare de către părți trebuie să selectați cu succes U și dV. integrala obținută în partea dreaptă a formulei a fost mai ușor. Amplasat în primul exemplu U = e x. dV = XDX. Apoi, este puțin probabil ca integrala ∫ 2 x e x dx poate fi considerat mai simplu decât originalul.
Uneori este necesar să se aplice formula de integrare în părțile de mai multe ori, de exemplu, atunci când se calculează integral ∫ x 2 sin (x) dx.

Integralele ∫ Pn (x) cos (ax) dx. ∫ Pn (x) sin (ax) dx. ∫ Pn (x) dx e ax. unde Pn (x) - un polinom (polinom) de gradul n. crede în general U (x) = Pn (x). dV (x) = cos (ax) dx.
Integralele ∫ cos e ax (bx) dx și ∫ e ax sin (BX) dx numit ciclic și calculată folosind formula de integrare prin părți de două ori.

Exemplul №3. ∫ (+ 4 3x) cos (x) dx
soluţie:

Răspuns: (3x + 4) sin (x) + 3cos (x) + C