Integrarea binomului diferențiale

Integralele diferențială redusă binom la integralelor funcțiilor raționale în trei cazuri, pentru anumite relații între exponenții. Având în vedere trei substituții care ne permit să reducă o parte integrantă a integrantă a unei funcții raționale. Formulele aduc care ne permit să reducă integralele la alte exponenții. Am analizat în detaliu un exemplu de calcul al integralei binomului diferențiale.

substituție aplicată

Luați în considerare integrala:
,
în care m, n, p - numere raționale, a, b - sunt numere reale.
Integrandul este numit diferential binomial. Integrala a acesteia se reduce la integralelor funcțiilor raționale în trei cazuri.

1) În cazul în care p - un număr întreg, atunci substituția x = t N. unde N - numitor comun al fracțiunilor m și n.
2) Dacă - întreg, substituția unui x n + b = t M. în care M - numitorul numărului p.
3) În cazul în care - întreg permutare a + b x - n = t M. în care M - numitorul numărului p.

Dacă nici unul dintre cele trei numere nu este un număr întreg, integralele teorema Chebyshev de acest fel nu poate fi exprimat în combinația finală de funcții elementare.

Formulele de reducere (scăderea sau creșterea exponenților)

În unele cazuri, este util să primul plumb integral la valori mai convenabile ale parametrilor m și p grade. Acest lucru se poate face prin aducerea formulele:
;
.

Formule de reducere Proof

Să demonstrăm prima formulă:

Integrarea prin părți prin înmulțirea cu na (p + 1).
u = x m-n + 1. v = (ax n + b) p + 1. du = (x m-n + 1) „dx = (m-n + 1) x m-n dx.

Transforma integralei rămasă.

Dovedim a doua formulă:
.

Integrarea prin părți prin înmulțirea cu m + 1.
u = (ax n + b) p. v = x m + 1.

Transforma integralei rămasă.