integrală necorespunzătoare a primul tip

Definiție Să presupunem că funcția este definită pe un fel interval infinit și integrabilă pe orice interval finit. în cazul în care. Astfel, putem considera funcția

• Dacă această funcție este limita numărul se numește valoarea integralei necorespunzătoare a primului tip

iar însuși integrală se numește convergentă (cu alte cuvinte, a converge integrale).

· În cazul în care, în plus față de propria sa integrală asupra converge interval infinit si integrala pe același interval, prima integrală numit absolut convergente.

În cazul în care converge integrale și diverge integrale, prima integrala este simplu convergenta.

2. Convergența integralelor în cazul funcțiilor pozitive

Dacă funcția este pozitivă (non-negativ), atunci integrala

Aceasta este o funcție monoton crescătoare a variabilei A.

Pentru convergența integrală improprie - în cazul unei funcții pozitive - este necesar și suficient ca integrala cu o creștere, ci să rămână mărginită de mai sus.

3. Convergența integralei în cazul general. testul lui Abel. Semnul de convergență a Dirichlet.

Teorema 1 (Dirichlet subiect) Dacă la poluosix> a.
1) funcția f este continuă și a limitat primitiv;
2) funcția g și scade continuu diferențiabilă. tinzând la zero prix +. t. e.
g (x) = 0; apoi integrala

Teorema 2 (testul lui Abel) Dacă la poluosix> a.
1) funcția f este continuă și integrală

converge;
2) funcția g este continuu diferențiabilă. delimitată și monotonă; apoi integrala

4. Integrale necorespunzătoare a două natură. Breaks integrandul.

Să presupunem că funcția f (x) definită pe intervalul (a. B], integrabile pe orice segment. Și are o limită infinită la. Integrant improprie a f (x) pe intervalul [a. B] este limita. Dacă această limită este finit, spune că integrala converge dacă limita nu există sau este infinit, ei spun că diverge integrale.

Definiție: Fie f (x) are o discontinuitate la x = b. iar celelalte puncte ale intervalului (a, b) este continuă. În cazul în care există o limită finită. aceasta se numește o integrală improprie celui de al doilea tip și este notat

Este definit în mod similar integrală improprie atunci când funcția f (x) are o discontinuitate la x = a:

Definiție: Fie f (x) are o discontinuitate la x = a. iar celelalte puncte ale intervalului (a, b) este continuă. În cazul în care există o limită finită. aceasta se numește o integrală improprie celui de al doilea tip și este notat

Definiție 7: Fie f (x) are o discontinuitate la un punct interior cu intervalul (a, b), iar celelalte puncte ale intervalului ea

5 Termeni și condiții pentru existența integralei

· Test de comparare în forma finală. Lăsați funcția nenegativ f (x) și g (x) integrabile peste orice segment [a. b] și să nu fie un sfârșit. Apoi, și integralele improprii converg sau diverg simultan.

· Test de comparare. Lăsați funcția f (x) și g (x) în conformitate cu oricare interval integrabile [a, b] și îndeplinesc următoarele inegalități. apoi:
în cazul în care integrala. apoi integrala;
în cazul diverge integrale. divergente integrală

Valoarea 6.Glavnoe integrală improprie

Să presupunem că integrala are o caracteristică unică în punctul interior al intervalului [a, b]. ar însemna

În astfel de cazuri noi spunem că integrala converge în sensul valorii principale.

7 Proprietăți ale integralelor improprii

Proprietățile integralelor improprii de al doilea tip, de fapt, se repetă proprietățile integralelor improprii de primul tip: singura modificare este limita bazei definirea integrală improprie cu integrala

pe integralei funcției cu o singularitate la punctul:

1. Să funktsiyaintegriruema chislai fixat pe orice segment în cazul în care, și are o caracteristică într-un punct. Apoi, în cazul în care integralskhoditsya necorespunzătoare, atunci când lyubomskhoditsya integrală. Pe de altă parte, în cazul în care nekotoromskhoditsya integrală, și converge integrale.

2. (teopemaspavneniya) Fie cele două funcții sunt definite nai având o singularitate în punctul, cu la inegalitate vsehvypolnyaetsya

Apoi, convergența integralei funcției ar trebui să fie mai mare de convergență a integralei funcției la, cu

și divergența integralei la funcția, divergența integrantă din mai multe funcții:

.3 În cazul în care integralskhoditsya converge, de asemenea, parte integrantă

Și avem inegalitatea

· În cazul în care converge integrale improprii, atunci integrala improprie este declarat a fi absolut convergentă.

· În cazul în care diverge integrală improprie, și converge integrale improprii, iar integrala improprie este numit convergenta.

8. Integrarea prin părți.

Fie u = u (x) și v = v (x) - o funcție având derivați de continue. Apoi, d (uv) = u * v * + dv duIntegriruyu această egalitate obținem formula de integrare prin părți, face posibilă reducerea calculul integralei la calculul integralei. care poate fi mult mai simplu decât originalul.

Integrarea prin părți este predeterminat că integrandul integralei reprezentat în nici un fel ca un produs a doi factori u și dv (acest lucru poate fi realizată de obicei în mai multe); apoi, după ce a constatat și v du, o formulă este folosită pentru integrarea de către părți. Uneori, această formulă trebuie să fie utilizat de mai multe ori.

9. Schimbarea variabilelor în integralelor improprii.

1. Calculul zonei. Zona delimitată de aceeași curbă. Zona închisă între două curbe. Sectorul de zona delimitată de curba dată în sistemul de coordonate polare.