grupări ciclice

Un grup G este ciclic dacă toate elementele sale sunt puteri ale unui singur element. Acest element g se numește un generator al grupului ciclic G.

Exemple de grupări ciclice:

1. Z grup de întregi, cu adaos.

2. Grupul tuturor rădăcini complexe de gradul n al unității cu operația de înmulțire. Deoarece grupul este g ciclic = elementul și un generator.

Vedem că gruparea ciclică poate fi fie finit sau infinit.

3. Fie (G, *) - orice grup și orice element. Setul este o grupă ciclică cu generator de g. Se numește subgrupului ciclic generat de elementul g, iar ordinea sa - ordinea elementul g. Prin comanda Teorema elementului Lagrange divide ordinul grupului. afișa

acționând în conformitate cu formula: în mod evident, este

omomorfismelor și imaginea sa coincide cu. Cartografierea este surjectivă dacă și numai dacă grupul G - ciclic și g elementul său de generare. În acest caz, noi numim omomorfismelor standard pentru generatorul grup ciclic G c ales g.

Prin aplicarea în acest caz, teorema omomorfismelor, avem o proprietate importantă a grupurilor ciclice: fiecare grupă ciclică este o imagine homomorphic a grupului Z.

Deoarece fiecare grup ciclic este comutativă și vom folosi notația aditiv, astfel încât n-lea grad g ng va arăta ca și să fie numit n ori elementul g, iar elementul neutru al lui G numim zero și este 0.

Condițiile sunt următoarele notații. Dacă grupul arbitrar F, scris în mod aditiv, atunci nF denotă subset ale cărui elemente sunt n ori elementelor din grupa F. Dacă F este comutativ, atunci nF - subgrup ca F n (x-y) = nx-ny.

Teorema pe subgrupuri de Z

Dacă H este un subgrup gruparea Z. H = nZ. unde n - un număr întreg non-negativ, și, prin urmare, H - grup ciclic cu element de generare n.

Dacă H este un subgrup banal, atunci teorema este adevărată, și n = 0. Fie H un non-triviale. În acest caz, H conțin nenulă număr și opuse acestora, deci și numerele întregi pozitive. Notăm cea mai mică dintre ele cu litera n. Apoi. Dacă - orice număr, apoi împărțind m la n cu restul, obținem: m = r + kuna, și. Dar atunci r = m-kuna și deci r = 0. Prin urmare, H = nZ. necesară.

În cazul în care k 0 - orice număr întreg, apoi harta definită de un izomorfism și afișează un subgrup subgrupei, și, prin urmare, un izomorfism.

Teorema asupra structurii grupări ciclice

Fiecare infinit ciclic Z. grup izomorfe Fiecare grupă ciclică finită de ordinul n este izomorf Z / nZ.

După cum sa menționat mai sus, orice grupare ciclică G este izomorf Z / H. H- unde un subgrup de Z. Prin teorema anterioară, H = nz. în cazul în care. Dacă n = 0, G este izomorf la Z și, prin urmare, infinit. Dacă n> 0, Z este împărțită în n claselor: nZ, nZ + 1, nZ + 2.nZ + (n-1), și, prin urmare, coeficientul Z / H este de ordinul n.

În viitor, gruparea Z / nZ vor fi notate. În special ,.

Menționăm că, în notație noastră, - grupa triviale.

Elementele unui grup finit prin definiție sunt claselor:

Z. nZ +1. nZ + n-1>, care sunt desemnate și se numesc resturile modulo n. și funcționarea în - plus modulo n.

Teorema subgrupelor de grup (n> 0).

Dacă H subgrupă, atunci H = în care n este împărțit în m în întregime. Procedura este H = d. și mijloace.

Luați în considerare omomorfismelor standardul. K = - subgrupa Z și deci K = mZ pentru un întreg m. Rezultă că H =. În acest caz, și pentru că n = dm unde d - întregi. Prin teorema homomorfism.

Teoremele au demonstrat că fiecare subgrup al unui grup ciclic este ciclic. De asemenea, vom vedea că pentru fiecare număr întreg d, împărțind ordinul n are un grup ciclic finit și, în plus, este exact un subgrup de ordinul d, trebuie să se încheie cu grupările ciclice inverse teorema teorema lui Lagrange.