Gruparea ciclică

Ciclic grup - grupul (G. ⋅). care pot fi generate de un singur element a. adică toate elementele sale sunt puteri ale unui (sau, pentru a folosi terminologia aditiv, reprezentată ca na unde n -. întreg). notație matematică: G = ⟨a⟩.

În ciuda numelui său, grupul nu trebuie să fie literalmente un „ciclu“. Se poate întâmpla ca toate puterile g n> va fi diferit. Grupul astfel generat este numit un grup ciclic infinit și întregi izomorfe sub plus (Z. +). +).>

• Toate grup abelian ciclic.
• Fiecare grup ciclic finit este izomorfă Z n _> - <0. 1. …. n − 1>> Cu plus modulo n (este, de asemenea, referire la Z / n Z / n \ mathbb>) și fiecare fără sfârșit - izomorfă Z>. grupul de întregi sub adaos.
  • În special, pentru fiecare număr natural n există numai (până la izomorfism) o grupare ciclică de ordinul n.
• Fiecare subgrup al unui grup ciclic este ciclic.
• În grupul ciclic de ordinul n sunt exact φ (n) generarea de elemente, pentru φ - functia lui Euler
• Dacă p - prim. ca orice grup de ordine p este ciclic și este unică până la izomorfism (aceasta rezultă din teorema lui Lagrange).
• Produsul directă a două grupe ciclice de ordinul n și m cicluri dacă și numai dacă n și m sunt relativ prime.
  • De exemplu, Z 12 _> izomorfă Z × Z 3 4 _ \ ori \ mathbb _>. dar nu izomorfe la Z 6 × Z 2 _ \ ori \ mathbb _>.
• Teorema fundamentală a grupurilor Abeliene generate afirmă că fiecare număr finit grup abelian finit generat în mod unic într-un descompune produs direct al grupurilor ciclice primare. Grupul poate fi un primar ciclică Z p n _ >>. unde p - prim, sau Z>.
• Orice grup multiplicativ de câmpuri finite este ciclică (este generată de câmpul cel mai înalt ordin).
• Inelul endomorphism al grupării Z n _> izomorf cu inelul Z n _>. Acest număr izomorfism r corespunde endomorphism Z n _>. care compară valoarea elementului r instanțelor sale. O astfel de hartă este bijectie. dacă și numai dacă r este relativ prim la n. astfel încât grupul automorphism Z n _> este izomorfă Z n × _ ^>.

• Grupul de rădăcini de unitate de gradul n în ceea ce privește multiplicarea.
• Grupul Galois orice extindere finită a câmpului finit și ciclice finite; în schimb, în ​​cazul dat câmpului F finit și un grup ciclic finit G. F. există extensie finită care va grupa Galois G.

Aprobarea. Fiecare subgrup al unui grup ciclic este ciclic.

Dovada. Fie G - grupa ciclică și H - subgrup al lui G. Dacă grupul G este trivială (compus dintr-un singur element), atunci H = G și H este ciclic. Dacă H - subgrup triviale (constând dintr-un singur element sau coincide cu întregul grup G), atunci H este ciclic. Mai mult, în cursul demonstrației se presupune că G și H nu sunt triviale.

Să g - generatorul grupării G. și n - cel mai mic întreg pozitiv astfel încât g n ∈ H \ in H>. Adoptarea: H = ⟨g n⟩ \ rangle>