Graficul functiei de mai multe variabile

Capitolul 1. Funcții de mai multe variabile

§ 1.1. Conceptul de o funcție de mai multe variabile. Program și la nivel de linie în funcție de două variabile.

Determinarea funcției de mai multe variabile

Definiția. Variabila se numește o funcție de două variabile. Dacă fiecare pereche de valori a două variabile independente reciproc, iar unele domenii corespunde unei anumite valori. .

Definiția. Variabila se numește o funcție de variabile. În cazul în care fiecare set de variabile independente reciproc corespunde unei singure variabile de valoare. . .

Fiecare funcție de mai multe variabile devine o funcție de mai puține variabile, în cazul în care o parte a lor fix. De exemplu, funcția. unde constantele sunt funcții, respectiv, variabile trei, doi și unu.

În cele ce urmează considerăm în principal funcția de două variabile.

Graficul functiei de multe variabile. line la nivel

Definiția. Setul tuturor punctelor. în care are sens, se numește domeniul de definiție. un set de valori. luate de funcția la. Se numește schimbarea domeniului sau valorile funcției plural. Linia care delimitează regiunea. numita zona de frontieră. Punctul din regiune care nu se află pe granița sunt numite interne. Regiunea constând din anumite puncte interioare se numește deschisă. FIELD cu acesta conectat se numește o graniță închisă. indicată.

Pentru o reprezentare vizuală a curbei geometrice nivelul de utilizare pentru funcția de două variabile și suprafețe de nivel pentru o funcție de trei variabile.

Definiția. Setul de coordonate pentru toate punctele spațiului definește o suprafață care se numește funcția program.

Definiția. Funcția-line la nivel de două variabile este mulțimea tuturor punctelor în plan. în care funcția presupune o valoare constantă, adică . în cazul în care - constantă.

Definiția. Nivelul de suprafață a unei funcții de trei variabile este mulțimea tuturor punctelor în plan. în care funcția presupune o valoare constantă, adică . în cazul în care - constantă.

Exemplul 1.1.1 Volumul expres al unui paralelipiped dreptunghiular înscris într-o sferă de rază ca funcție de dimensiuni și două sale. Găsiți domeniul funcției.

Presupunem construit desen (figura 1). Notăm două dimensiuni, să zicem. Să - raza sferei, atunci.

Volumul paralelipipedului este egal. și trebuie să-și exprime prin. De ce avem. și ieși. Înseamnă. și apoi - funcție necunoscută a două variabile.

Domeniul ei :. t. e. raza cercului centrat la origine.

înțelegem, de asemenea, funcția unui punct la o funcție și sub. Valoarea funcției de la punctul desemnat și se face referire la valoarea privată a funcției.

Exemplul 1.1.2. Având în vedere :. Caută:

A) Pentru a găsi. este necesar să se înlocuiască expresia și de a efectua acțiunea. Avem.

Exemplul 1.1.3. Având în vedere :. Find.

Din aceasta rezultă că

Exemplul 1.1.4. Găsiți domeniul și gama funcției. Desenați graficul liniei și a funcției de nivel.

Acțiunea de extracție rădăcină posibilă cu condiția. Această inegalitate definește o rază de cerc vicios centrat în origine.

Această funcție este definită de către câmpul ecuație. astfel încât graficul ei este emisfera superioară (figura 2). Liniile de nivel sunt furnizate circumferențial. Prin urmare, în special, rezultă că setul de valori - un segment

Exemplul 1.1.5. Găsiți domeniul funcției

Domeniul acestei funcții date de inegalitățile. Primele două inegalități definesc un pătrat în plan. Roznachaet și cu condiția ca fiecare linie care trece prin pătrat perpendicular pe acesta, aparține domeniului. Deci, - în direcția fără sfârșit o cutie (Figura 3).

Exemplul 1.1.6. Găsiți nivelul funcției de linie.

Curbele de nivel determinat de ecuația. Aceasta este jumătate localizată în primul trimestru cu. în al doilea plan, la trimestru. și dacă sexul

Exerciții pentru §1.1.

1) Se exprimă suprafața unui trapez isoscel în funcție de trei variabile: lungimea și bază și peretele lateral.

2) exprimă aria triunghiului în funcție de lungimile cele două părți ale acestora și cu condiția ca triunghiul cunoscut semiperimetrul

3) Exprimă volumul conului în funcție de generatoarea și înălțimea sa. Precizați domeniul funcției.

4) Dan funcția Find:

5) Pentru o funcție pentru a găsi:

8) Găsiți și reprezintă domeniul următoarele funcții:

9) Găsiți funcțiile la nivel de linie de date:

§ 1.2. Limita unei funcții de mai multe variabile de la punctul. Continuitatea funcției la punct și pe platoul de filmare.

Limita unei funcții într-un punct

Definiția. Setul de toate punctele în plan, coordonatele care satisfac inegalitatea. A numit-o vecinătate a punctului. Cu alte cuvinte, vecinătatea punctului - acesta este punctul intern al cercului cu centrul și raza.

Definiția. Să presupunem că o funcție este definită în vecinătatea punctului. cu excepția, probabil, cel mai mult la acest punct. Numărul se numește limita funcției la. dacă pentru orice există astfel încât pentru toți și satisfacerea inegalitatea, inegalitatea. Notați sau.

Din definiția rezultă că, dacă există limita, atunci aceasta nu depinde de modul în care aspiră la.

Exemplul 1.2.1. Găsiți limita.

Vom aborda o linie dreaptă. în cazul în care unele număr. Apoi .Funktsiya la punctul limită nu este, ca și pentru diferite valori ale funcției de limitare nu este același lucru.

Funcția în limita a două variabile au aceleași proprietăți ca și limita funcției de o variabilă.

Exemplul 1.2.2. Găsiți limita.

Bazat pe faptul că. folosind o formulă cunoscută și una din limita de proprietăți. concluziona cu ușurință că.

Exemplul 1.2.3. Calculați limita.

În cazul în care. atunci. și anume infinitezimal-valoare. Multiplicatorii și cantitățile sunt limitate, și, prin urmare, (produsul unei infinitezimal limitat de cantitatea este infima). Aici și noi credem. .

Exemplul 1.2.4. Calculați limita.

Notăm. Apoi, când avem. În consecință ,.

Exemplul 1.2.5. Calculați limita.

Transformarea starea în starea cu ajutorul substitutii. Noi primim. Din inegalitatea avem Cauchy. Și apoi. și de ce. Si din moment ce. concluzionăm că.

Continuitatea funcției la

Definiția. Funcția se numește continuă în punctul. dacă este:

a) definit la acest punct și imediata apropiere a acestuia,

c) această limită este egală cu valoarea funcției. și anume sau.

Exemplul 1.2.6. Dacă funcția este continua.

Noi verifica starea de continuitate a funcțiilor.

1. Funcția definită într-un cartier al acestui punct.

2. pentru că avem. și limitate.

3. Valoarea limită este la punctul funcția de la acel punct.

Functia este continua. Rețineți că această funcție este continuă în fiecare punct ca o combinație de funcții elementare continue.

Funcții continue pe platoul de filmare

Funcția este continuă în fiecare punct al unei regiuni, numită continuă în această regiune. Punctele la care perturbate condiția de continuitate, numite puncte de discontinuitate a acestei funcții. punctul de rupere poate forma întreaga linie de rupere. Astfel, funcția are o linie de pauză.

Folosind definiția continuității și teoreme asupra limitelor se poate dovedi că operațiile aritmetice asupra funcțiilor continue de construcție și funcționare funcțiilor continue complexe conduce la functii continue cum ar fi funcția Teorema apărut unei variabile.

Definiția. Domeniul este setul de puncte în plan, având proprietățile de transparență și conectivitate.

Proprietatea este deschisă. fiecare punct face parte din acesta, împreună cu un cartier al acestui punct.

proprietate de conectivitate. oricare două puncte din regiune pot fi conectate printr-o linie continuă, care se află în întregime în acest domeniu.

Definiția. Un punct este numit un punct de delimitare a regiunii. în cazul în care nu face parte. dar, în orice vecinătate a punctului se află în zonă. Setul de puncte de frontieră se numește frontieră. FIELD cu acesta conectat se numește o zonă de frontieră închisă, și este notat. Zona este numită limitată. în cazul în care toate punctele sale aparțin unei raze de cerc. În caz contrar, zona se numește nelimitat.

Un exemplu al unei regiuni unbounded poate servi ca un set de puncte din primul cadran. Un exemplu de un cartier de ogranichennoy-.

Teorema 1.2.1. În cazul în care funcția este continuă într-o regiune închisă mărginită, este în acest domeniu:

a) este limitată, adică, există un număr. că pentru toate punctele din acest domeniu, inegalitatea;

b) are un punct de la care primește valorile minime și maxime;

c) primește cel puțin un punct al regiunii, orice valoare numerică închisă între și.

Exerciții pentru §1.2.

1) Se calculează limitele:

Derivatele parțiale sunt preluate din diferitele ordine sunt numite mixte.

derivate parțiale definite în mod similar de 3, 4, etc. comenzi.

Derivatele parțiale ale funcțiilor două sau mai multe variabile este determinată de aceleași formule și reguli, în funcție de o variabilă. Este necesar să ne amintim doar o singură regulă: dacă o variabilă este diferențiabilă, atunci restul este considerat permanent.

Exemplul 2.1.3. Găsiți al doilea ordin derivatele parțiale ale funcției

Deoarece ambele. atunci. amestecate și derivați

Teorema 2.1.2 (Schwartz). Dacă derivatele parțiale de ordin superior sunt derivați continue, amestecate de același ordin, care diferă doar în ordinea de diferențiere, sunt egale.

În special, avem

Funcția diferențială. funcţii liniarizare

Definiția. Dacă funcția are derivate parțiale. continuă în punctul. atunci teorema medie valoare pentru funcțiile de o variabilă avem. Această expresie este principala parte liniară a funcției increment și numit diferențiala funcției la un anumit punct.

Denumire :. Aici. Adoptat prin notația: - funcția diferențiale parțiale. atunci

- funcția diferențială totală