Extinderea în seria Maclaurin de funcții elementare de bază

Curs 15. serie Taylor.

Seria Taylor se numește o serie de putere a formei (se presupune că funcția este infinit derivabila).

Seria Maclaurin se numește seria Taylor, cu care, există un număr.

Teorema. O serie de putere este o serie Taylor pentru valoarea sa.

Dovada. Să presupunem că seria de puteri converge în intervalul. Înlocuim expansiune, obținem.

Având în vedere că seria de puteri converge uniform în interiorul intervalului de convergență, putem diferenția pe termen de termen. Seria rezultată va converg în același interval, deoarece raza de convergență nu se schimbă în timpul diferențierii. Acesta poate fi diferențiate pe termen de termen, încă o dată, etc. Se calculează coeficienții din seria puterii obținute prin termenul de diferențiere pe termen lung. =

, , ,

, , ,

Continuând acest proces, obținem. Aceasta - coeficienții seriei Taylor. Prin urmare, o serie de putere este un Taylor.

Corolar. Extinderea unei serii de putere este unică.

Dovada. Conform teoremei anterioare, coeficienții de expansiune în funcție de seria de putere sunt în mod unic determinate, astfel încât extinderea unei serii de putere este unică.

Scriem seria expansiune Maclaurin funcții elementare de bază prin calcularea coeficienților de extindere a formulei în cazul în care.

,

(Integrarea formula de mai sus)

, .

Să înregistrat o extindere a seriei de puteri. Se pune întrebarea dacă acest lucru este întotdeauna de expansiune (seria putere) converge la această funcție, și nu oricare alta.

Teorema. Pentru seria Taylor converge la funcția pentru care este construit, este necesar și suficient. la restul formulei lui Taylor tinde spre zero.

Dovada. Scriem formula Taylor, cunoscut de la 1 semestru

Necesitate. Notăm Sn - suma parțială a seriei Taylor.

.

În cazul în care seria Taylor converge la, atunci. Dar formula lui Taylor. În consecință ,.

Suficiență. În cazul în care, apoi, și - suma parțială a seriei Taylor. Prin urmare, seria Taylor converge la funcția.

Teorema. Să toți derivații sunt uniform delimitate de o singură constantă. Apoi, seria Taylor converge la funcția.

Dovada. Estimăm termenul rest cu formula lui Taylor

, deoarece funcția exponențială crește mai lent decât n. De aceea (teorema precedentă) seria Taylor converge la funcția.

Ca un exemplu al teoremei, considerăm expansiunea într-o serie de funcții Maclaurin sin x, cos x. Aceste ranguri converg către funcțiile, deoarece derivații lor sunt delimitate în mod colectiv unitate de-a lungul axei.

Extinderea funcției e x în intervalul [a, b] toate derivatele limitate constante e b. astfel încât seria de e x funcția converge pe orice interval finit.

Seria pentru funcțiile sh x, ch x poate fi obținut printr-o combinație liniară de exponenți, prin urmare, seria acestora converg pe toată linia pentru aceste funcții.

Luați în considerare extinderea numărului de funcții. Să presupunem că seria converge la funcția. Este posibil, un număr de diferențiere pe termen de termen, pentru a stabili valabilitatea (scoateți-l ca un exercițiu). Rezolvarea acestei ecuații diferențiale, obținem.