Exemple de soluții de ecuații diferențiale, matematică superioare

Metode de rezolvare a ecuațiilor diferențiale aici.

Exemplu. O soluție particulară a ecuației diferențiale (DE)

soluţie:
Deoarece (sinx) '' = -sinx. (COSX) '' = -cosx. funcție de forma va satisface ecuația.

Când c1 = 1, c2 = 3, atunci

Dacă c1 = 0, c2 = -2, atunci

Exemplu. soluție de control cu ​​variabile separabile.

Având în vedere: de control
Găsiți: Soluție de control.

soluţie:
Această problemă în ecuația este convenabil scrisă sub forma:

Noi rescrie ecuația în formă de egalitate a celor două funcții ale diferențialelor de un argument:

Înmulțim partea stângă și dreaptă a ecuației.

În cazul în care diferențele de funcții sunt egale, atunci funcțiile propriu-zise se disting printr-o constantă. Apoi integrala generală a controlului este după cum urmează:
ln | y | = Ln | x | + Ln | c |, în cazul în care constanta de integrare este reprezentată în formă logaritmică.

Exemplu. control uniform soluție de prim ordin.

Având în vedere: de control
Găsiți: Soluție de control.

soluţie:
Partea dreaptă a ecuației este o funcție numai de control atitudine înseamnă omogenă.

Ecuația noastră devine:

ln | LNU | = Ln | x | + Ln | c |, LNU = c x x. aici.

Ca rezultat, obținem:

Exemplu. Solutia unui control linear al primului ordin.

Dată: controlul x ≠ -1.
Găsiți: Soluție de control.

,

.

Determina v în control:

ln | v | = 2 × ln | x 1 |, aici.

u Am găsit de sub control:
.

Scriem solutia generala de control :.

Exemplu. ecuația Bernoulli.

Având în vedere: de control.
Găsiți: Soluție de control.

soluţie:
Ecuația lui Bernoulli - un control al formei în care P (x), Q (x) - o funcție continuă sau o constantă.
Când n = 0 este liniar, cu n = 1 cu variabile separabile.

Înmulțiți ambele părți ale acestui lucru în problema, ecuația pe.

Obținem un control liniar la v.
Prin urmare, ln | v | = X 2 ..

Să ne scrie ecuația pentru u:

Înlocuiți imediat ar putea rezolva ecuația lui Bernoulli ca liniar.