Determinanții n-lea ordin - studopediya
Fie A = o matrice pătrată arbitrară de ordinul n-lea cu elemente reale (sau complexe).
7. Determinarea determinantul A (factor determinant de ordinul n-lea) este suma algebrică a n! termeni, fiecare dintre care este produs n elementelor matricei, luate câte unul din fiecare rând și fiecare coloană. În acest caz, produsul este luat cu „+“ în cazul în care substituirea indicilor elementelor conținute în ea chiar și cu semnul „-“ în caz contrar.
Desemnarea determinantului: | A | =.
De exemplu, când n = 6 produsul a21 A62 A34 A46 A13 A55 este membru determinant, deoarece include exact un element din fiecare rând și din fiecare coloană. Substituirea, compus din indexurile sale vor. A patra inversiune în rândul de sus și două inversiunea - în partea de jos. Numărul total de inversiuni este de 6, adică, chotnaya substituție. Prin urmare, acest lucru face parte din extinderea determinantului cu semnul „+“.
Lucrare A21 A13 A62 A34 A46 A15 membru nu este determinant, deoarece include două elemente din primul rând.
1 0. determinant transpus nu este modificat (reamintim că determinantul matricei și transpoziția înseamnă schimbarea plasează rânduri și coloane).
Într-adevăr, în cazul în care (1) unui membru al determinantului, toate a1. a2. .... un alt - numărul de inversiuni din permutarea (a1 a2 ... o ...). La transpunerea numere de rând și numerele de coloane devin opuse. În consecință, toți factorii produsului sunt diferite coloane și rânduri, adică, acest lucru va fi inclus în determinantul transpus. Semnează va fi determinată de numărul de inversiuni din permutarea. Dar acest număr este, evident, egal. Deci, (1) să fie membru al determinantului transpus. Din moment ce ne-am luat, orice membru al determinantului, și numărul de membri în calificările și transpună la fel, atunci ar trebui să fie și egalitatea lor. Din proprietățile de mai sus, rezultă că totul va fi demonstrat pentru determinantul liniilor va fi valabil pentru coloanele sale.
2 0. Dacă toate elementele rând (sau coloana) a determinantului este zero, determinantul este zero.
Acest lucru rezultă din faptul că un element de rânduri menționate (sau coloane) vor fi incluse în fiecare membru al determinantului.
3 0. În cazul în care toate elementele de orice rând a determinantului au un factor comun, atunci acesta poate fi luat ca un semn al determinantului.
Într-adevăr, în cazul în care toate elementele din al doilea rând au un factor comun l, atunci ele pot fi scrise sub forma. Orice membru al determinantului va avea forma (-1) s. În consecință, toți membrii pot fi un factor determinant pentru a face l.
4 0. Dacă determinantul două rânduri sunt interschimbate, modificările determinante semnează.
Într-adevăr, dacă (1) orice membru al determinantului, noul numere de linie determinant p și q sunt schimbate, iar numerele de coloană rămân aceleași. În consecință, noul determinant este aceeași lucrare vor fi incluse în formă (-1) s. Deoarece numerele de linie a existat o transpunere, și numerele coloanelor nu s-au schimbat, k și s au de paritate opus. Astfel, toți membrii determinantul semnului modificat, în consecință, factorul determinant în sine sa schimbat semn.
5 0. Dacă două linii sunt proporționale cu determinant, determinantul este zero.
Într-adevăr, să presupunem că toate elementele rândului k sunt egale cu elementele corespunzătoare ale rândului p-lea, înmulțit cu l, adică | A | = = = 0.
6 0. Dacă toate elementele din rândul k determinant este suma celor doi termeni, determinantul este egală cu suma a doi factori determinanți, în care toate liniile cu excepția a doua, la fel ca în determinant. În locul elementelor k-lea rând de unul dintre ei sunt primii termeni de elemente k-lea rând de determinant, și elementele la fața locului pentru a doua linie de-a doua - a doua lor termeni.
Să elementele din al doilea rând va fi + TC1. + CK2. .... + SKN. Apoi, fiecare membru al determinantului va avea forma
(-1) s = (-1) s + (-1) s.
După colectarea tuturor primii termeni, obținem determinantul, care este diferit de acest lucru numai la a doua linie. Pe site-line la al doilea va sta. .... . După colectarea toți termenii doilea, obținem determinantul este, de asemenea, diferit de cel de-al doilea șir numai. În ceea ce privește a doua linie va fi TC1. CK2. .... SKN.
7 la 0. Dacă o linie pentru a adăuga un alt factor determinant al liniei sale, din care toate elementele sunt multiplicate cu același număr, determinantul nu se schimbă.
Această proprietate este o consecință a celor două precedente.
Dacă în determinant | A | la rândul-strike lea și coloana p-lea, rămâne determinant (n-1), comanda -lea. El a numit un minor, un element suplimentar, și este desemnat pentru Mach. Numărul (-1) k + p × Mcr numit adăugarea algebric al elementului și notat acru.
8 0. Opțional Minor și cofactor nu depinde de ce fel de element este situat în rândul k și p-lea coloana a determinantului.
Dovada. Dacă a11 = 0, ecuația (8), este evidentă. Să a11 ¹ 0. Din moment ce fiecare membru al determinantului vine exact un element al primului rând, membrii non-zero, determinantul nu poate fi decât cele care includ a11. Toate au o vedere. în care GK și a alerga de la 2 la n. în semnul determinant D al acestui termen este definit paritate înlocuind s = .so mod D este suma algebrică a termenilor formei cu semnele determinate prin substituirea s. În cazul în care acest factor sumă din a11. vedem că D = a11 × S. unde S este suma algebrică a termenilor formei. al cărui semn este determinat prin substituirea lui. Acești termeni, în mod evident, (n - 1). Dar înlocuirea lui și înlocuirea au aceeași paritate. În consecință, S = M11. Deoarece A11 = (-1) + 1 x 1 M11 = M11. atunci D = A11 × a11.
Dovada. In determinantul D permuta linia p-lea succesiv cu fiecare anterior. Astfel rândul p-lea al primei linii are loc. dar minor, un element suplimentar la arca nu se va schimba. Nu se va face (p - 1) schimbarea rânduri. Dacă noul determinant desemnat D1. apoi D = (-1) p-1 × D. Determinantul D1 la permuta coloanei th în serie cu fiecare coloană anterioară, acest lucru se face atunci când (k - 1) permutarea coloanelor și Minor, complementar arcului. Aceasta nu se va schimba. rândul său, determinantul
TEOREMA 3. Factorul determinant este suma produselor de elemente ale unui rând de cofactori lor, adică D = AK2 AK1 + ak2 AK1 + × ... × AKN + AKN (10).
Dovada. Să = D. Elemente ale rândului k poate fi scris ca al1 = CA1 + ... + 0 + 0 = 0 + ak2 ak2 + 0 + ... + 0, .... a = 0 + 0 + 0 + ... + a. Utilizarea proprietății 6 0. obține că D = = = AK2 AK1 + AK2 AK1 + ... + a A (folosind Lema 2).
Teorema 4. Suma produselor elementelor unuia cofactori strokiopredelitelya pentru elementele corespunzătoare ale unui alt rând este zero.
Dovada. Să = D. Conform teoremei anterioare,
= D. Dacă luăm. Dbudet determinant în două rânduri egale, adică D este zero. De aceea, 0 =. dacă p ¹ k.
Notă. Teoremele 3 și 4 va fi adevărat dacă formularea lor, cuvântul „linia“ se înlocuiește cu cuvântul „coloana“.
Metoda de calcul a determinantului de ordinul n-lea.
Pentru a calcula determinantul de ordinul n-lea este suficient, în orice rând (sau coloană) pentru a obține cât mai multe zerouri posibile, folosind proprietatea 0. 7 și apoi utilizați Teorema 3. În acest caz, calculul determinantului de ordinul n-lea va fi redus la calculul determinantul (n - 1 ) comanda -lea.
Exemplu. Se calculează determinanți D =.
Decizie. Obținem zerouri în al doilea rând. Pentru aceasta a doua coloana 1) se înmulțește cu (-2) și se adaugă la prima coloană; 2) pentru a adăuga oa treia coloană; 3) se înmulțește cu (4) și pentru a adăuga a patra coloană. Constatăm că D =. Descompunem determinantul rezultat prin elementele al doilea rând. In aceasta lucrare toate elementele rând prin cofactori lor, cu excepția membru 1, sunt zero. Pentru a obține cofactor elementului 1, este necesar să se șteargă pe cei rând și coloană în cazul în care elementul este în valoare, de exemplu, rândul al doilea și coloana a doua. Semnul adaosurile algebrici determină (-1) 2 + 2 = (-1) 4 = +1. Astfel, D = +. Am primit comanda al treilea factor determinant. Acest determinant poate fi calculat cu ajutorul diagonalelor și triunghiuri, dar pot fi reduse la determinant al doilea ordin. Inmultiti prima coloană 1) la (4) și se adaugă la a doua coloană. 2) înmulțim cu 2 și se adaugă la a treia coloană. Obținem că
= D. De aceea, D = (-1) 2 + 1. Folosind proprietatea 0. 7 pentru a adăuga mai întâi a doua coloană, obținem D = - = -3 x (23 - 40) = 51.
Unii factori determinanți (de exemplu, cele în care există minori „mari“, constând în întregime din zerouri), comoditate pentru a extinde pe mai multe linii. Acest lucru permite teorema lui Laplace. Să determinantul D M este selectat ordine Minor s-lea, care elemente stau în rânduri cu indici k1, k2, ..., KS, și pe coloane cu numere p1, p2, ..., ps. Noi șterge rânduri și coloane cu numere menționate. După aceea va fi determinantul (n - s) th ordine. Este numit M minor 1 complementar minor M. If s = k1 + ... + KS + p1 + ... + ps, atunci
plus algebric la minor M este A = (-1) s × M 1.
Teorema 5 (teorema lui Laplace). Să determinantul ordinul n alocat șirurile (sau coloane). Determinant este egală cu suma produselor tuturor minorilor, în picioare pe liniile selectate, prin cofactori lor.
(Descomp elementele i-lea rând);
(Descomp elementele jth coloanei).
Noi verifica validitatea teorema lui Laplace pe exemplul unui factor determinant al treilea ordin al matricei. Expand-l mai întâi pe elementele din primul rând
Care coincide cu determinarea determinantul matricei treia comandă.
Teorema 6 (teorema lui Cramer). Dacă sistemul de ecuații liniare numărul necunoscutelor este egal cu numărul de ecuații și a sistemului determinant D nu este zero, atunci sistemul are o soluție și numai unul. Această soluție este obținută prin utilizarea formulelor. unde fiecare dc obținut din D prin înlocuirea k coloanei de membri liberi ai unei coloane.
Dovada. Având în vedere un sistem și D ¹ 0. Inmultind prima ecuație de A1k, al doilea - pe A2K. ..., th ecuația n - prin Ank și toate ecuațiile adăuga în sus. Se obține ... +. + + + ... =
Utilizarea Teoremele 3 și 4, obținem x1 x 0 + ... + xk × D + ... + xn = 0 × dc. în care df = (coloana k în determinant D înlocuiește coloane disponibile membrilor acestui set de ecuații). De aceea = pentru toți k = 1, 2, ..., n.
- Determinantul matricei este egal cu determinantul matricei transpuse inițial:
- Multiplicarea tuturor rândurilor de elemente sau determinant pe un număr de coloană # 955; umnozheeiyu echivalente determinant pe acest număr:
- În cazul în care determinantul să schimbați între ele oricare două rânduri sau două coloane, determinantul își schimbă semnul său.
- Dacă două rânduri (coloane) ale matricei sunt egale între ele, determinantul matricei este zero:
- Dacă două rânduri (coloane) ale matricei sunt proporționale între ele, determinantul matricei este zero:
- Determinantul matricei egală cu produsul elementelor de formă triunghiulară pe diagonala principală:
- Dacă toate elementele rând (coloană) determinant k sunt reprezentate ca sume ak j + bk j. determinant poate fi reprezentat ca suma determinanții relevanți:
- Determinant nu se schimbă dacă oricare dintre elementele sale la rândul (sau coloana) pentru a adăuga elementele corespunzătoare ale unui alt rând (sau coloana corespunzătoare) înmulțit cu același număr:
- Fie A si B - matrici pătrate de aceeași ordine. Determinantul unui produs de matrici este produsul determinanților: