Densitatea de probabilitate, matematică, fandomului alimentat de Wikia
Densitatea de probabilitate Edit
Fie este o măsură de probabilitate, pe, care este un spațiu de probabilitate, în cazul în care denotă Borel σ-algebra pe. Să reprezintă măsura Lebesgue pe.
Definiție 1. Probabilitatea este numită absolut continuă (în ceea ce privește măsura Lebesgue) (), în cazul în care orice set Borel de măsură zero, Lebesgue are, de asemenea, o probabilitate de la zero:
În cazul în care probabilitatea este absolut continuă, atunci există o funcție non-negativ Borel astfel în conformitate cu teorema Radon-Nikodym că
,
unde frecvent utilizate abrevieri, iar Integrala este înțeleasă în sens Lebesgue.
2. Determinarea funcțiilor definite mai sus se numește probabilitate Radon-Nikodym sau densitate relativă măsură probabilitate (în ceea ce privește):
.
Editați proprietățile densității de probabilitate
- Densitatea de probabilitate este definită aproape peste tot. În cazul în care o densitate de probabilitate și aproape peste tot în ceea ce privește Lebesgue măsură, și funcționează ca o densitate de probabilitate.
- Integrala densității asupra întregului spațiu este egal cu unu:
Pe de altă parte, în cazul în care - non-negativ aproape peste tot funcția astfel încât să existe o măsură de probabilitate absolut continuă pe o astfel încât este densitatea acestuia.
- Măsuri de înlocuire Lebesgue integrală:
în cazul în care orice funcție boreliană integrabilă în raport cu măsura de probabilitate.
aleatoare variabilă densitate Editare
Lăsați spațiu determinată de probabilitate arbitrară și variabilă aleatoare (sau vector aleator). Aceasta induce o măsură de probabilitate, numită distribuție variabilă aleatoare.
DEFINIȚIE 3. În cazul în care distribuția este absolut continuă în raport cu măsura Lebesgue densitatea sa este numită densitatea variabilei aleatoare. Ea însăși o variabilă aleatoare se spune ca este absolut continuă.
Astfel, pentru o variabilă aleatoare absolut continuă, avem:
.
Note Editare
- Nu orice variabilă aleatoare este absolut continuă. Orice distribuție discretă, de exemplu, nu este complet continuu în ceea ce privește măsura Lebesgue și, prin urmare, variabile aleatoare discrete au densitate.
- Funcția de distribuție este variabilă aleatoare absolut continuă este continuă și poate fi exprimată în termeni de densitate, după cum urmează:
În cazul unidimensional:
.
În cazul în care, apoi futut și
.
În cazul unidimensional:
.- Funcția așteptare a unei variabile aleatoare absolut continuă poate fi scrisă ca:
în cazul în care - boreliană, astfel definită, și finită.
aleatoare variabilă de conversie densitate Editare
Să - variabilă aleatoare, și - injectiva funcția în mod continuu diferențiabilă astfel încât în cazul în care - Jacobi a funcției în punctul. Apoi variabila aleatoare este, de asemenea, absolut continuă, iar densitatea sa este de forma:
.
În cazul unidimensional:
.