Dacă introduceți spațiul de sistem, punctul P în această coordonate

sistemul va avea anumite coordonate și o cantitate scalară va fi o funcție de aceste coordonate. Pe de altă parte, fiecare funcție a trei variabile determină un câmp scalar. câmp scalar adesea reprezentat de un punct de vedere geometric așa-numitele suprafețe de nivel.

Definiția. Nivelul de suprafață al câmpului scalar este locul geometric al punctelor din spațiul în care funcția de câmp are aceeași valoare S.

Ecuația are suprafețele de nivel formă. . C dau valori diferite, vom obține suprafețele de nivel de familie.

De exemplu. În cazul în care câmpul este dată de funcția. suprafețele de nivel sunt sfere centrate la origine.

Alături de câmpul scalar într-un spațiu, de asemenea, considerat plat câmp scalar. Funcția unui câmp scalar plat, care depinde de două variabile:

câmp scalar plat reprezentat geometric prin intermediul liniilor de nivel. Pentru funcția unei linii de plat nivel câmp scalar este după cum urmează :. unde C - constantă.

De exemplu. pentru funcția de plat câmp scalar definit. Liniile de nivel sunt hiperbolă echilateral.

Dată fiind o funcție diferențiabilă a unui câmp scalar.

Luați în considerare punctul de acest domeniu și fasciculul care provine de la punctul P în direcția vectorului unității. unde unghiurile vectorului cu axele de coordonate.

Să - un alt punct al fasciculului. Notăm distanța dintre punctele și.

Definiția. Derivata unei funcții în direcția

Acesta este limita, și este notat.

Rețineți că, dacă derivata funcției în punctul în direcția dată este pozitiv, atunci direcția crește funcției și dacă <0, то функция в этом направлении убывает.

Putem spune că derivata dă rata de schimbare în direcția funcției. Deducem o formulă de calcul derivata. Că observăm mai întâi.

Deoarece funcția este diferențiabilă cu condiția, + + +. și apoi

În cazul unui câmp scalar plat derivata este următoarea: +.

1) Găsiți derivata unei funcții într-un punct

în sensul de mers de la un punct la altul.

Noi găsim vectorul și vectorul unitar corespunzător. Astfel. . .

Acum vom găsi derivatele parțiale ale

. și valorile lor la punctul:

2) Găsiți derivata funcției în punctul (1, 1), în direcția bisectoarea primul cadran.

Unitatea vector bisectoare primul cadran este.

Gradientul unui câmp scalar.

Definiția. Gradient la câmpul scalar punct definit funcția diferențiabilă. Se numește vector egal

1) Găsiți gradientul funcției în punctul.

2) Găsiți gradientul funcției în punctul.

Teorema. Proiecția unui vector de către un vector unitate este un derivat direcțional. .

Să. Este cunoscut faptul că proiecția unui vector pe versorul este egal cu produsul scalar al acestor vectori.

Notăm unghiul dintre vectorul u unitate. Apoi =.

Dacă direcțiile vectorilor și aceeași, atunci derivatul direcțional. Ea are cea mai mare valoare.

Astfel, am ajuns la concluzia că gradientul este un vector care indică direcția cea mai mare creștere a câmpului la un anumit punct și având

modul de viteza acestei creșteri.

Găsiți cea mai mare rată de creștere a funcției

La punctul. Prin urmare, cea mai mare rata de creștere este egală cu funcția.

= Clarificarea relație de poziție la acest punct și suprafața de nivel care trece prin acest punct.

Să se dă ecuația acestei suprafețe.

Luați în considerare curba. situată pe suprafața și care trece prin punctul.

Să presupunem că curba este dată de ecuațiile

. în care funcția diferențiabilă, în care

Fiecare punct are curbă coordonate. care trebuie să îndeplinească o suprafață plană, deoarece curba se află în întregime pe această suprafață. Astfel.

Diferențierea ambele părți ale acestei identități. obținem

. În special, atunci când avem

Partea stângă a acestei ecuații este un produs scalar și vectorial. direcționată tangențial la curba. Astfel.

Să presupunem că. Apoi, din ultima egalitate, care este perpendicular. Deoarece curba a fost aleasă în mod arbitrar, ajungem la următoarea concluzie.

Toate tangentă la punctul de la liniile, situată pe o suprafață plană și care trece prin punctul. situat într-un plan perpendicular pe vectorul. cu condiția că vectorul nu este zero.