Clasa 8, platforma de conținut

1.1. (6 puncte) este un grafic al unei funcții y liniar = ax + b (a se vedea. Figura). Găsiți valoarea b- și de exprimare.

Rețineți că valoarea expresiei este o valoare b- a acestei funcții x = -1. Graficul arată că valoarea este zero.

Este de asemenea posibil un mod mai greoi pentru a rezolva: calcula valorile coeficienților a și b, înlocuind în ecuația, o anumită funcție, coordonatele oricare două puncte din grafic.

1.2. (6 puncte) Despre patrulater cunoscut faptul că două dintre laturile sale sunt paralele și că punctul de intersecție al diagonalelor este punctul median al unuia dintre diagonalelor. Este adevărat că acest patrulater - un paralelogram?

Luați în considerare un ABCD patrulater. în care Soarele || AD. Despre - intersecția AC și BD. și AO = OC (vezi. fig. 1). Deoarece Soare || AD. ÐSALT = ÐOAD. În plus, ÐSOV = ÐOCD. Prin urmare, triunghiuri BOC și OCD sunt pe partea și o colțurile adiacente, astfel încât soarele = AD. Astfel, BC laterală și AD avute în vedere de patrulater sunt egale și paralele, și anume ABCD - un paralelogram.

1.3. (6 puncte) atunci când este multiplicată număr întreg pozitiv N pentru a obține un număr de 3, suma de cifre din care este egal cu N. Găsiți cea mai mică valoare posibilă a N.

S-a obținut prin înmulțirea numărului este divizibil cu 3, astfel încât suma cifrelor este împărțit de 3. Astfel, numărul N este împărțit la 3 și apoi împărțit în 3N 9. Prin urmare, suma cifrelor de 3N divizibil cu 9, adică, N este împărțit de 9. Astfel, N ³ 9, în care numărul 9 satisface 9 × 3 = 27, iar suma cifrelor egală cu 27 9.

Rețineți că problema poate fi rezolvată prin înmulțirea enumerare directă cu trei numere de la 1 la 9 și suma de verificare numerele lor.

Răspuns. Nu, nu poți.

1) Să mediană CM este, de exemplu, un busing picior (vezi. Fig. 2a). Mai mult, CM = AB = BM. cu toate acestea triunghi BMS - echilateral, prin urmare, ÐBCM = 60 °. Prin urmare, unghiul necesar de ACM este de 30 °.

2) Fie BN - considerat mediana (a se vedea figura 2b) ... Deoarece BN> BC. se presupune că BN = AC. Apoi, CN = BN. că este, într-un triunghi dreptunghic BSN ÐCBN = 30 °. Acest unghi - obligatoriu.

2.3. (7 puncte) Oorfene Deuce construit 66 neisprăviți într-un rând, le-a dat seama că numărate și să le reconstituie într-o coloană de cinci el nu a putut. Apoi, el a decis între oricare două neisprăviți, stând în picioare în linie, a pus un altul dubolomu. Poate el, repetând această operație de mai multe ori, pentru a se asigura că numărul de neisprăviți a fost de cinci ori?

Răspuns. Nu, nu pot.

Rețineți că, dacă în linia de standuri n de neisprăviți, ca urmare a acestei operațiuni va fi 2n - 1. După prima operație va fi egal cu numărul de neisprăviți 131. În cazul în care numărul se termină în 1, se înmulțește cu 2 și scade 1, vom obține din nou un număr care se termină cu la 1. prin urmare, în viitor, numărul de neisprăviți se termină întotdeauna figura 1, prin urmare, acest număr nu este divizibil cu 5.

3.1. (8 puncte) Petia erau monede la valoarea nominală de 1 rublă și 1 penny, cenți și a fost mai mică decât pe rubla. Cumpărarea alimente, Peter a petrecut jumătate din total. După aceea, el a apărut din nou, numai ruble și copeici, cenți și a apărut la fel de mult ca și a fost inițial de ruble, iar ruble a fost de două ori mai mică decât a fost inițial de cenți. Câți bani a fost la Petit inițial?

Răspuns. 99 ruble și 98 copeici.

Prima metodă. Să Petit a fost x și y cenți ruble, în timp ce suma totală de bani lui - (100x + y) cenți. După achiziționarea de produse de la Petit la stânga jumătate din această sumă, adică (50x + 0,5y) cenți. Prin ipoteză, ruble Petia a fost 0,5y. și cenți - x. pentru un total de (50y + x) cenți. Egalează: 50x + 0,5y = 50y + x.

Simplificând-l, obținem: 98x = 99y Û 98 (x - y) = y. Deoarece x și y - numere naturale, atunci y este divizibil cu 98. Dar cenți Petia a fost mai mică decât pe rubla, deci y <100, следовательно, y = 98, тогда x = 99.

A doua metodă. Să presupunem că, după cumpărături la Petit a lăsat un b ruble și copeici, în timp ce suma de bani lui a fost inițial egal cu 2a și 2b ruble copeici. Considerăm două cazuri:

1) b <50, тогда 2b <100. Из условия следует, что , что возможно только при а =b = 0.

2) b ³ 50, apoi 2b ³ 100. în acest caz, una dintre ruble, care a fost la început Petit, razmenennym pornit un ban, așa :. Soluția acestui sistem de ecuații este :. Astfel, Petit a lăsat 49 de ruble 99 copeici, și a fost - 99 ruble 98 copeici.

3.2. (8 puncte) In ABCD patrulater unghiurile A și B - sunt drepte. De asemenea, este cunoscut faptul că CD = AD + BC. ADC unghi bisectoare intersectează AB la punctul M. Find unghi CMD.

Dovedind că M - mijlocul AB, poate fi completat și decizia în mod diferit. Egal trapetsiiMK midline (a se vedea figura 3c ..), TogdaMK = (AD + BC) = SD.Poluchim că în triunghiul CMD este egal cu jumătate din partea mediană, la care a avut loc, adică, triunghiul - dreptunghiular cu perpendicular M.

A treia cale. Construim trapezoid AVC 'D', simetrică în raport cu această linie dreaptă AB (vezi. Fig. 3c). Apoi CC 'D' D - trapez isoscel, în care SS '+ DD' = 2BC + 2AD = 2CD = CD + C 'D'. Această ecuație înseamnă că CC trapezoid „D“ D poate fi înscrisă cerc. Centrul acestui cerc aparține axei de simetrie a unui trapez echilateral, și în același timp un punct de intersecție al Bisectoarele colțuri, astfel încât să coincidă cu punctul M. Apoi SM - BSD unghi bisector. Prin urmare, ÐCMD = 90 °.

A patra cale. AVD construct patrulater 'C', aceasta simetric față de punctul de mijloc al segmentului AB (vezi. Fig. 3a). Deoarece C 'D' = CD = BC + AD = CD '= C' D. CDC 'D' - romburi. Diagonalele C „C“ și D „D“ romburi Bisectors perpendiculare sunt unghiurile și intersectează segmentul AB în mijloc, astfel încât M - punctul de intersecție. Prin urmare, ÐCMD = 90 °.

3.3. (8 puncte) Noi spunem că un număr natural este mare, în cazul în care acesta este cel mai mic dintre numerele naturale este aceeași ca a lui, suma cifrelor. Care este suma tuturor numerelor de trei cifre mari?

Rețineți că printre remarcabile numere de trei cifre sunt exact acele numere care se termină în 99.

Într-adevăr, lăsați un număr format din trei cifre N se termină în 99. Vom demonstra că este minunat. În orice număr mai mic în fiecare loc cifră nu este mare, decât numărul N. și la un anumit loc există un număr mai mic sau primul număr lipsește (în cazul în care numărul nu este format din trei cifre). Prin urmare, numere mai mici au o cantitate mai mică de numere, de exemplu, numărul N - minunat.

Demonstrăm acum că celelalte numere din trei cifre, nu este mare. Orice număr de trei cifre are suma numerelor nu mai mare de 9 × 3 = 27. Sume cifre remarcabile numere cu trei cifre 199, 299. 999, sunt egale, respectiv, 19 și 20. 27. Toate numerele au cantități mici care se găsesc într-un număr cu o singură sau cu două cifre. Prin urmare, în cazul în care numărul de trei cifre nu se încheie la 99, nu este remarcabil.

Rămâne să se calculeze suma numerelor de trei cifre care se termină în 99: S = 199 + 299 + ... + 999 = (200 + 300 + 1000 ...) - 9 = (2 + 3 + ... + 10) 100 - 9 = 5391.

4.1. (9 puncte) Rezolvați ecuația :.

Verificăm că x = 1 nu este o rădăcină a acestei ecuații. Într-adevăr, atunci când x = 1, partea stângă este setată la 48, în timp ce partea dreaptă este egală cu 49.

Înmulțind ambele părți ale ecuației inițiale pentru (x - 1) 2. Utilizând formula: unde n - un număr întreg. Deoarece; și atunci obținem ecuația. Eliminăm paranteze: Û Û Û x = 0 sau x = 1.

Astfel, x = 0 - soluție unică a ecuației.

Rețineți că, în cazul în care se face o verificare în faza finală a deciziei, este necesar să se verifice ambele rădăcini.

4.2. (9 puncte) pe partea laterală a unui pătrat ABCD soare exterior construit isoscel GREUTATE triunghi cu BC de bază. Este cunoscut faptul că unghiul este de 75 ° EAD. Găsiți unghiul de greutate.

Construit în afara pătratului spre partea de soare a triunghiului echilateral BE'C (vezi. Fig. 4). Apoi, triunghiul Abe „- isoscel cu un unghi de 150 ° la V. vertex, prin urmare, ÐBE'A = ÐBAE „= 15 °. prin urmare ÐE'AD = 90 ° - ÐBAE „= 75 °. Prin urmare, punctul E este pe linia AE“. În plus, punctele E și minciuna E“pe perpendiculara pe lungimea BC. Din moment ce acest lucru nu se poate intersecta un fascicul perpendicular AE „mai mult de un punct, atunci E“ coincide cu E. Prin urmare, ÐBEC = 60 °.