cardioid și melcul pascal

În scris, pe site-ul arbuz.ferghana.ru articol utilizate materiale

Cardioid (cardioid)

Dacă utilizați două cercuri cu aceeași rază și se rotesc în jurul valorii de unul pe altul, veți obține un cardioidă (grech.kardia - inima) - Potrivit matematicieni, curba rezultată este vag amintește de inima

Formula r = 2a (1 + cos (theta)) atrage cardioid

Limakona sau Pascal melc (Limacon Pascal)

Și cum să se comporte curbe, dacă luăm punctul nu este ea însăși cercul de rulare, și în interiorul acestuia, trecerea de departe de centru? Apoi, vom obține o curbă, cunoscut sub numele de melc sau limakona lui Pascal

Limakona a fost descoperit de matematicianul francez Pascal Etienne (tatăl celebrului om de știință Blaise Pascal)

Formula: r = b + 2a cos (theta) limakonu atrage (Pascal melc)

Când b = 2a devine limakona kardiodidom

Efecte curbe

Deci, noi știm cu formula de cerc, cardioide și melci Pascal. Se observă că formula foarte asemănătoare, lăsat să le combine într-un singur ciclu pentru a obține primul efect

În acest exemplu, o - constantă, și b variază de la ciclul b = 0 până la b = 8. Vezi tu, bucla mai mică degenerează într-un punct, și cel mai dublează gama sa, devenind un cardioidă.

Modificați desenul. Noi schimba programul un pic și a obține un model frumos

Reprezentați Pascal Melc ca conchoid. Nefiind legat prin curbe de teorie care dau o definiție non-stricte: conchoid - un locus obținut prin mutarea fiecare punct al curbei originale de-a lungul unei anumite suprafețe predeterminate căi. Pentru curba inițială Melcii Pascal este cea mai comuna circumferință, și transferate de puncte de-a lungul liniilor care trec printr-un punct care se află pe cercul respectiv. Să ne ilustrează în mod grafic. Cifra din cerc vom alege un punct P fix și punctul variabil M. care ne deplasăm de-a lungul liniei care leagă punctele P și M pe o anumită distanță fixă, de asemenea.

Familia rezultată de puncte este circumferința conchoid în raport cu un punct fix. Programul vă permite să obțineți imaginile așteptate. În primul rând, să atribuiți = 0.25R. (Treptat crește această valoare). Acordați atenție la necesitatea de a face două ture (unghi central de f aka variabila de la 0 la 720 de grade) - un punct se mișcă spre exterior și a doua revoluție - în interiorul cercului. tranziție Finețe din principalul unghi central al cercului pe care ne iteram (f t variabil în grade sau radiani) la unghiul o linie care leagă curentul constant la punct cu o axă orizontală a cercului c (alfa variabilă)

podară

Definiția podară pentru randamentul inițial nu va primi imediat la afaceri. In punctul cercul curent (traversat într-o buclă pe întreaga circumferință), trage o linie tangentă, și apoi din punct fix (în acest caz, situată pe cerc) perpendicular efectua această tangentă. Combinația acestor perpendicularele merge în jurul valorii de, ai ghicit, cardioidă. Acesta este cazul special al locațiilor de punct fix de pe circumferință, în acest moment deplasarea spre interior sau spre exterior a circumferinței sale obține toată familia Melci Pascal. În programul de mai sus, toate ca contor buclă f unghi centrale, în grade, t el aceeași în radiani, panta beta a tangentei la punctul corespunzător din ciclul, k tangenta acest unghi. Ecuația liniei este cunoscută, y = kx + b, pentru fiecare tangent găsi b = y-kx. Pentru linii perpendiculare reciproc k1 = -1 / k, b1 = 0 și deoarece toate perpendiculare trec prin punctul în care y = 0. Rezolvarea ecuației tangentei și perpendiculare pe aceasta, a găsi coordonatele punctelor de intersecție și le trage în cerc mic roșu. Aceste cercuri și să ne atragă la curba pedalei unui cerc în jurul punctului.

Creați capodopere

Vom lua toate punctele de pe același cerc nostru, le-a pus în ac de busolă și de a desena un cerc nou astfel încât toți au trecut prin același punct fix pe circumferința. Plicul total (envelopa așa-numitul) la cercurile rezultate vor cu siguranță toți au ghicit cardioid. Un punct fix la deplasare obține toate scala Melci Pascal. Acest proces ilustrează imaginea și programul prin tragere la el. cercuri negre mici indică minciună pe circumferința punctului inițial al centrelor cercurilor deținute. Aici un amestec de punct fix pentru experimentele dvs. până la zero. Cel mai important lucru în acest program pentru a calcula raza de a fi trase la fiecare ciclu al cercului, dar este destul de teorema lui Pitagora, este necesar doar pentru a putea să-l aplice pe site. După cum puteți vedea, culorile frumoase, culoarea cercurilor variază pe tot parcursul ciclului. Doar suficient pentru a reduce etapa de ciclu și vom obține o imagine frumos.

Acum suntem separați de crearea unei capodopere a face o lățime pas mic a liniei mai mult (de exemplu, 55 de pixeli) și culoarea în fiecare cerc, chiar și în galben și negru ciudat. Și vom obține o capodoperă de artă pop care ar fi invidiată de Malevici însuși.

Vom continua experimentele noastre. Pentru punctul curent pe cercul cu un unghi central de a aloca o axă orizontală la aceeași grindă deține unghi dintr-un punct fix (toate la fel, pe circumferință) până la intersecția cu cercul. Punctul raza se intersectează cu circumferința liniei, cu punctul de mijloc inițial și pentru a găsi coarda rezultată. Vei râde, dar mijlocul corzilor sunt pe melcul de Pascal.

Unghiul central actual alocăm nu este necesar și deci de la el în buclă și de a construi toate. Singurul punct tehnic găsirea punctul de intersecție al unui cerc și o linie care trece printr-un punct fix (paralel cu raza, realizată în vizualizarea curentă). Pentru a găsi coordonatele liniilor punctul de intersecție care trec prin punctul fix și cercul, este necesar pentru a le rezolva împreună ecuație. Ecuația liniei y = kx + b, unde b = 0, deoarece punctul se află pe axa x și k = tan (t), unde unghiul t elicei în radiani. Și ecuația unui cerc (x-r) 2 + y2 = r2 ca centru de mutat r valoare în ceea ce privește originea, care trece printr-un punct fix. Eliminarea y și rezolvarea cu privire la x, obținem x = 2r / (1-k2). Substituind această valoare în ecuația liniei, obținem punctul y pe cerc. Și cunoscând coordonatele a două puncte pentru a găsi coordonatele mijlocul segmentului conectarea lor este destul de simplu, ele sunt egale cu jumătate din suma coordonatelor punctelor. Toate acestea și puse în aplicare în următorul program.

Să ia în considerare propagarea undelor și de a găsi modele. Dacă ne uităm în camera rotundă și să strige, probabil va fi punctul în care sunetul zbura noastre mai tare decât oricare alta. Oricum, putem construi un model de propagare a undei într-o cameră, sau, echivalent, razele într-un cerc, și vom lua în considerare doar primul fascicul reflectat. Nu ai argumenta citit chiar mai departe că razele reflectate vor cardioide. Și vei fi absolut corect! Din respect pentru programul nu aduce cititorilor după atât de mult antrenament nu-l scrie pur și simplu indecent. Singurul lucru pe care trebuie amintit că unghiul de incidență este egal cu unghiul de reflexie, și că unghiul interior este jumătate din unghiul central de subîntins de același arc.

Fanii de imagini matematice este cunoscut așa-numita web. Punctul pe cercul este luat cu un anumit pas, și fiecare dintre ele conectate cu același punct, dar fază mutat într-un anumit număr de ori (n). Acest număr poate fi setat sau luate la întâmplare. Punctele de intersecție ale corzilor fuzioneze într-un model de moar formele cele mai complicate. Ideea este atât de atractiv încât se recomandă insistent ca toată lumea să încerce să-l pună în aplicare pe cont propriu să se joace cu parametrii și să se bucure de efectele. Pentru n = 1 nu va atrage nimic, deoarece punctele de început și sfârșit de linii sunt aceleași, dar cu o creștere în n figuri vor apărea cu noduri, iar numărul de noduri este egal cu n-1. Suntem, de asemenea, deosebit de interesat în cazul n = 2, iar cifra este desenată, deja bine studiat de noi cardioidă. Când n = 3, așa-numitul nephroid cu două noduri. Dacă n-1 a divizorului 360, imaginea prezintă o anumită ordine. Imagini da valori pentru n = 2 (cardioidă nostru preferat)

Utilizarea cronometrului

Pentru a evita tastarea în manual de fiecare dată valoarea n, și să încredințeze computerul de lucru, puteți viziona un interesant modele de caleidoscop server virtual