așteptare condiționată - definirea cuvântului

așteptare condiționată în teoria probabilității - este valoarea medie a variabilei aleatoare în ceea ce privește distribuția condiționată.
defini
Presupunem că, având un spațiu de probabilitate. Să - variabila aleatoare integrabilă, adică. Să presupunem, de asemenea, că - sub - algebra algebră.
EMA cu privire la algebră

O variabilă aleatoare se numește așteptarea condiționată de X în ceea ce privește algebra. • dacă măsurabilă cu respect.
•,

în cazul în care - indicatorul evenimentului A. așteptarea condițională indicat.

Exemplu. Să set. Apoi - algebra, și. Să variabila aleatoare X are forma

atunci
EMA cu privire la evenimentele de familie

Să - să fie un eveniment de familie. Apoi așteptarea condiționată în ceea ce privește X se numește

unde - minim sigma-algebra care conține.

Exemplu. Să presupunem, de asemenea, că C =. Apoi. Să variabila aleatoare X are forma

atunci
ULV variabilă relativ aleatoare

Să cealaltă variabilă aleatoare. Apoi așteptarea condiționată de X în raport cu Y este numit

în care (Y) - algebra generată de o variabilă aleatoare Y.
probabilitate condiționată

Să - eveniment arbitrar, și - indicatorul acesteia. Apoi, probabilitatea condiționată a B relativă numit
observații
• așteptare condiționată - aceasta este o variabilă aleatoare, și nu un număr!
• așteptare condiționată este definit până la un eveniment de probabilitate zero. Astfel, în cazul în care aproape peste tot, atunci. Identificarea variabilelor aleatoare care diferă numai în evenimentele de probabilitate de zero, obținem unicitatea așteptărilor condiționate.
• Preluarea A =. obține, prin definiție:

și, în special, cu formula probabilității totale prea: • Să algebra generată de partiție. atunci

În particular formula totală probabilitate ia forma clasică:

și, prin urmare,
proprietăţi cheie
• În cazul în care. există o funcție Borel. astfel încât

așteptare condiționată de X în ceea ce privește evenimentele prin definiție, egal • Dacă bp apoi bp
• În cazul în care X este independent de.

În special, în cazul în care X. Y sunt variabile aleatoare independente, atunci • Dacă - două algebra, astfel încât.
• În cazul în care X - -măsurabilă, și Y - variabilă aleatoare, astfel încât.

proprietăți suplimentare
• teorema convergenței monotone;
• teorema de convergență dominată;
• Fatou Lemma;
• inegalitatea lui Jensen.

UMO pentru variabile discrete
Fie Y - o variabilă aleatoare discretă a cărei distribuție este dată de funcția de probabilitate. Apoi, sistemul de evenimente Este o partiție. și

în cazul în care se referă la așteptările luate cu privire la probabilitatea condiționată.

Dacă variabila aleatoare X este, de asemenea, discret,

în care - funcția de probabilitate condiționată a unei variabile aleatoare X în raport cu Y.
UMO pentru variabile aleatoare absolut continuă
Să X. Y - variabile aleatoare, astfel încât vectorul este absolut continuă și specifică distribuția densității de probabilitate f X. Y (x y.). Introducem densitatea condiționată. punerea prin definiție

unde f Y - aleatoare Y. variabilă Apoi densitatea de probabilitate

unde h este de forma

În particular,
UMO în L2
Luați în considerare spațiul variabilelor aleatoare cu finit al doilea moment de L 2. definit produsul scalar

și au generat norma

Setul de variabile aleatoare cu al doilea moment de finit și relativ măsurabilă. în cazul în care. Este un subspațiu de L 2. Apoi operatorul. definită de ecuația

este operatorul de proiecție ortogonală pe. În special: • așteptare condiționată - aceasta este cea mai bună aproximare X-măsurabilă variabile aleatoare-medii pătratice:
• așteptare condiționată păstrează produsul scalar:
• idempotente așteptare condiționată:

A se vedea. De asemenea,
• distribuție condiționată.