9) Soluția de sisteme de ecuații liniare nedeterminate

Sistemul de ecuații m liniare cu n necunoscute (sau sistem liniar, de asemenea, utilizat abrevierea SLAE) în algebra liniară - un sistem de ecuații ale formei

Mixt LES - SLU, are una sau mai multe soluții.

Incert LES - SLU comun, care are mai mult de o soluție.

Rezolvat de Jordan - Gauss. Soluțiile sunt exprimate prin intermediul unor termeni liberi.

10) omogeni ecuațiile liniare

Slough se numește omogen dacă toți termenii săi constant egal cu 0.

Teorema 1 (pe soluții netriviale ale sistemului omogen)

sistem liniar omogen cu o matrice pătrată are o soluție nontrivial dacă și numai dacă determinantul este zero.

Dovada Pentru Teorema Cramer dacă și numai dacă sistemul are o soluție matrice pătrată unică (adică vectori - sistem Columns - este dependentă liniar). Dacă avem un sistem de ecuații liniare omogene, soluția - triviale (0,0, ... 0). Deci, există soluții non-triviale, dacă și numai dacă (de ex., Un set infinit de soluții).

Orice soluție exprimată LENTĂ ca o combinație liniară

, ...,.

Noi arată că vectorul - liniar independent. Pentru această compoziție matritsuiz coordonatele lor:

.

Situat sub minorul de comandă, altele decât nulyastolbtsov matritsylineyno independente.

Prin urmare, vectorii - sunt liniar independente, adică Acești vectori formează o bază de subspatiului.

Aclimatizează compatibilitate trivială:

Pentru sistemul omogen are o soluție nontrivial dacă și numai dacă rangul matricei sale principale a fost mai mic decât numărul de necunoscute

Kronecker - Capelli - criteriul compatibilității sistemului de ecuații algebrice liniare:

Sistemul de ecuații liniare este consistentă dacă și numai dacă rangul matricei sale principale este egal cu rangul de matricea sa augmented, cu sistemul are o soluție unică dacă rangul este egal cu numărul de necunoscute, și un număr infinit de soluții, în cazul în care gradul este mai mic decât numărul de necunoscute.

11. Vectori. operațiuni liniare cu vectori

vector geometric (sau vector) este direcționat segment.

Vectorul este numit zero, în cazul în care la începutul și la sfârșitul meciului său. nul

vector nu are o anumită direcție și are o lungime egală cu zero. acest

Acesta permite înregistrarea pentru a identifica vectorul zero la un număr real

Vectorii se numesc coliniare dacă se află fie pe o-

line Noe sau pe linii paralele.

Doi vectori se numesc egale dacă sunt coliniari, sunt odi-

Nakova lungime și aceeași direcție.

operații liniare cu vectori.

operațiune Liniar numită operație de adăugare vector și este deschisă și

multiplicarea vectorului de radio de numere reale.

Suma a + b a doi vectori a și b este un vector care se extinde

un vector de la origine la capătul vectorului b cu condiția ca vectorul b

atașat la capătul unui.

1. a + b = b + a (Comutativitate);

2. (a + b) + c = a + (b + c) (asociativitate);

Diferența a - b a vectorului a și vectorul b este numit un vector

c, care este suma vectorială a b randamentele vectorului a.

Un α produs (sau Aa), un vector de un număr real α

Este vectorul b, coliniare vector a, având o lungime

egală cu | α | · | A |. și având o direcție ce coincide cu direcția

Niemi un vector în cazul α> 0 și direcția opusă

un vector în cazul α <0.