3 din liniile de ordinul al doilea

§3 linii de ordinul doi

Luând în considerare figuri geometrice definite de ecuațiile de gradul I, se procedează în mod natural pentru a studia imaginile, care corespund ecuației de gradul doi. În acest caz, începe cu luarea în considerare a diferitelor obiecte de pe xy coordonate plan și va lua în considerare, astfel, o ecuație cu două necunoscute, având în vedere că a treia coordonate z este întotdeauna zero.

Ecuația generală de gradul 2 cu două necunoscute are forma

Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 (1)

prin urmare, se consideră că cel puțin unul dintre coeficienții A, B, C nu este egal cu zero.

Liniile care îndeplinesc această ecuație sunt numite curbe de ordinul 2.

Cea mai simplă astfel curba este un cerc. Lăsați centrul cercului este la punctul M0 (a, b) și raza cercului este R. Deoarece un cerc este un set de puncte care se află la o distanță predeterminată de centrul M0. atunci

De notat că în ecuația nu conține variabile membre la produsul coordonatelor și coeficienții pătrat de coordonate variabile sunt egale între ele (în ecuația (2), acești coeficienți sunt egali cu 1, dar, desigur, posibil toate părțile ecuației (2) înmulțit cu orice constantă).

Curbele de ordinul 2 sunt curbe - o elipsa, hiperbola și parabole. Mai mult decât atât, se dovedesc în continuare că orice linie de ordinul 2 este fie o elipsă sau o hiperbolă, sau parabolică, sau orice caz de „degenerare“. Dar, mai presus de toate, să ne definim cele trei curbe de bază, derivă ecuațiile lor simple și studia formele lor.

Definiția. Elipsa este setul de puncte (pe un plan), suma distanțelor de la care la cele două puncte de date este constantă.

Am ales sistemul de coordonate carteziene, astfel încât axa x trece prin cele două puncte F1 și F2 GIVEN. iar originea este la mijlocul segmentului F1 F2 (fig. 19).

Fie M (x, y) - una din multitudinea de puncte, așa cum sa discutat. 2c denota distanța dintre punctele F1 și F2 și 2a printr-o valoare predeterminată distanțele M F1 și F2 M. Evident, punctul F1 are coordonatele (-c, 0) și punctul de coordonate F2 (a, 0).

Prin definiție, avem:

prin urmare, obținem ecuația

De fapt, ecuația (4) au deja o ecuație a setului care este considerat. Dar este incomod pentru studiul formei; converti într-o formă mai simplă.

Deoarece 2a> 2c (suma celor două laturi ale triunghiului peste tertului), A2-c2> 0. presupunem

In cele din urma, obținem (la ales sistemul de coordonate) ecuația

Evident, fiecare din punctul stabilit, care este considerat, trebuie să îndeplinească ecuația rezultată (6). Dar, din moment ce în procesul de transformare, dublu Cuadratura ambele părți ale ecuației, este necesar să se verifice dacă acesta se va transforma în același timp „extra“ puncte. Cu alte cuvinte, este necesar să se verifice dacă fiecare punct al cărei coordonate corespund ecuația rezultată aparține setului de puncte, care este considerat.

Mai întâi am face câteva observații cu privire la forma liniei, care corespunde ecuației rezultată.

curba este simetrică față de axele de coordonate și, prin urmare, în raport cu originea. Odată cu creșterea | x | între 0 și | y | există scade de la b la 0. puncte de curbă numai într-un dreptunghi (fig. 20).

Acum, verificați că orice punct al liniei, care este definit de ecuația obținută aparține unui anumit set. Pentru a face acest lucru, trebuie să arătăm că în cazul în care coordonatele unui punct arbitrar M0 (x0, y0) satisface ecuația

Asimptotă de hiperbolă în acest caz, perpendicular unul pe altul. O astfel de hiperbolă se numește echilateral.

Curba a treia bază de ordinul 2 este o parabolă.

Definiția. O parabolă este setul de puncte (în plan), echidistant față de un anumit punct și linia de țintă.

Alegem axa abscisei de coordonate cartezian rectangular, astfel încât să treacă printr-un anumit punct F perpendicular pe linia L dat, lasa originea se afla la mijloc FK (fig.23) segment. Direcția abscisă este indicat în figură.

Distanța de la punctul F la linie dreaptă L este notat cu p. Apoi, punctul F va avea coordonatele și ecuația liniei L :.

Fie M (x, y) - un punct arbitrar al setului luat în considerare, și A - baza perpendicularei de la M la L.

Deoarece punctul A are coordonatele și, prin definiție, atunci

Este ușor de verificat că pentru cvadratura, nu am intrat în „extra“ puncte. Într-adevăr, înlocuind în expresia y 2 2px. Obținem, și, prin urmare, egalitatea.

De atunci aceasta nu poate fi negativ, iar toate punctele de minciuna curba din dreapta semiplanul. Atunci când x crește de la 0 la - | y | crește pe termen nelimitat. Este de asemenea clar faptul că curba este simetrică față de axa x.

punctul Având în vedere F este punctul focal al parabolei, punctul de intersecție al parabolei cu axa sa de simetrie - vârful parabolei.

Ecuațiile (elipsă) (hiperbola), y 2 = 2px (parabolică) au fost obținute cu o locație specială cel mai convenabil axe de coordonate. Prin urmare, ecuația obținută se numește simplu ecuații canonice sau curbe ale doilea ordin.

Pentru a se familiariza cu metodele de aducere ecuațiile curbelor de două ordinea specificată într-un alt sistem de coordonate, la o astfel de formă simplă, este necesar să primească formula de conversie de sisteme de coordonate.

* EXEMPLE DE REZOLVAREA PROBLEMELOR

1.171. Ecuația înregistrare a unui cerc care are centrul său la punctul (5, -7) și trece prin punctul (2, 3).

Găsim Δ raza cercului ca distanța de la punctul său de centru într-un anumit

Acum circumferința ecuației (2) substituie centrul coordonatelor și raza care se gaseste

1.172. Găsiți coordonatele centru și pe raza cercului

x 2 + y 2 -4H- 14u + 17 = 0

Ö rescrie această ecuație după cum urmează:

-4H- x 2 + y 2 + 4 -14u + 49 + 17-4-49 = 0

Comparând această ecuație cu ecuația unui cerc (2) randamentele: a = 2, b = 7, r = 6. În consecință, centrul cercului este la (2, 7) și raza egală cu 6. ▲

1.173. Găsiți ecuația unei elipse a cărei focarele este punctul F1 (0, 0) și F2 (0; 8) și axa A semimajore = 5.

Δ Distantele din punctul M (x, y) egal cu focarele elipsei și, respectiv. Conform definiției unei elipse, avem că

Simplificând această ecuație, obținem

Alegem un pătrat perfect pe „y“

25h 9 2 (y 2 -8u + 16) = 225

Împărțiți de 225 și pentru a obține ecuația canonică a unei elipse:

Axele de simetrie ale elipsei va fi linia a = axa semimajore x = 0 și = 4, 5, axa minoră b = 3. ▲

1. Se calculează 174. semiaxis hiperbolă dacă ecuațiile directricea definite și unghiul dintre linia asymptotes.

Δ asociat cu formule Directoarea semi-hiperbola

a, b - jumătate-line hiperbola. Ecuațiile și asymptotes.

Conform declarației problemei obținem un sistem de două ecuații

Prin urmare, prin urmare, b = 6. ▲

1,175 Scrieți ecuația parabolei care trece prin punctul (0, 0) și (1, -2) și simetrică în raport cu axa Ox.

Δ Ecuația parabolei care trece prin punctul (0, 0) este simetrică în raport cu Ox are forma y2 = 2px.

Cu condiția ca parabolei trece prin punctul (1, -2) dă (-2) 2 = 2 g

Aceasta este, ecuația necesară parabolei va arăta