11 seminar

Curbele de a doua comandă în avion.

fundal

I. Ecuația unei linii în avion.

linia Opredelenie.Uravneniem (curba) în planul

în sistemul de coordonate carteziene, se numește ecuația, unde- în funcție de două variabileși. În sistemul de coordonate polare, ecuația dreptei are forma. Dacă ecuațiarezolvabile în ceea ce privește variabila, ecuația liniei poate fi scrisă ca.

Deoarece coordonatele unui punct de pe linia conectată prin ecuația, linia este unidimensională obiect geometric. Problema găsirii punctelor de intersecție a celor două linii de date de ecuațiile

și,

se reduce la rezolvarea unui sistem de două ecuații cu două necunoscute:

Linia pe planul poate fi, de asemenea, specificate parametric folosind două ecuații

unde

și- punctul de coordonate culcat pe linie, și- nazyvaemayaparametrom variabilă.

Acestea sunt câteva exemple de linii.

raza cercului

centrat la origine.

Ecuațiile astfel un cerc au forma:

a)

- într-un sistem de coordonate carteziene;

b)

- în sistemul de coordonate polare;

c)

- în formă parametrică.

Forma parametrică a ecuației cicloida are forma

Acesta descrie un punct de curbă pe un cerc de rază

, care se rostogolește fără alunecare pe linie fixă.

Astroidă dată de ecuațiile:

a)

- într-un sistem de coordonate carteziene;

b)

- în formă parametrică.

Acesta descrie un punct de curbă pe un cerc de rază

, care se rostogolește fără alunecare pe partea interioară a unui cerc cu raza.

Ecuația coordonate polare cardioidă este dată de

.

Această curbă descrie un cerc de rază punctului

, de rulare de-a lungul circumferinței aceeași rază din exterior.

Ecuația cardioid este un caz special (

) De melci Pascal

.

lemniscate Bernoulli dată de ecuațiile:

a) - într-un sistem de coordonate carteziene;

b)

- în sistemul de coordonate polare.

Produsul a distanțelor de la fiecare punct de lemniscate Bernoulli la două puncte de date

șieste egală cu pătratul distanței dintre puncteleși.

foaie cartezian dată de ecuațiile:

a) - într-un sistem de coordonate carteziene;

b)

- în formă parametrică.

Forma parametrică a curbei este dată de ecuațiile

9) a crescut de trei ori.

această curbă în sistemul de coordonate polare definită de ecuația

10) chetyrehlepestkovaya a crescut.

Ecuația ei are forma

.

11) o spirală de Arhimede.

Această curbă în sistemul de coordonate polare este descris de ecuația

12) o spirală logaritmică.

Ecuația ei are forma

13) spiral hiperbolice.

Această curbă este dată de ecuațiile

II. Ecuația generală a doua comandă și aducerea la forma canonică.

Ecuația generală de ordinul doi al liniei are forma

Se presupune că

. În general, această formă este dificil de a vedea modul în care curba avem de-a face cu. Prin urmare, ancheta curbei definită de această ecuație, rezultă conduce inițial ecuația folosind transformare la (simplu) forma canonică coordonatei.

Traducere paralel cu originea.

Nou (amorsate) a introdus un sistem de coordonate cu ajutorul relațiilor

În noul sistem de coordonate, ecuația (1) devine

Luând ca constante

șisoluție a sistemului

putem elimina din ecuația curbei cu termenii primelor variabile de gradul

și. Astfel, într-un sistem de coordonate cartezian cu noul centruEcuația celei de a doua curbă ordine va avea forma

La rezolvarea sistemului de ecuații (2) cazuri posibile:

1)

. Sistemul are o soluție unică, punctulcurba nazyvaetsyatsentrom. iar curba în sine se numește curba centrală. sunt curbe centrale

2). Pot exista cazuri:

a) sistemul de ecuații nu are nici o soluție, curbele nu au centrul și numit parabole;

b) sistemul de ecuații are un număr infinit de soluții, curba este numită parabole degenerate (sau o pereche de linii paralele imaginare ale unui punct).

În continuare, ia în considerare cazul detaliilor curbe centrale. Facem rotirea axelor de coordonate de unghiul

în jurul centrului

Curba de ecuația (3) devine

,

Am ales unghiul de rotație a axelor de coordonate

, satisfacerea egalității

sau, echivalent, egalitatea. Acest unghi de rotație este ales din starea. În consecință, ecuația curbei în sistemul de coordonatevizionări primetkanonichesky

.

Exemplu. Să ecuația forma canonică a doua curbă comandă, pentru care. Găsim coordonatele centrului curbei sistemului de ecuații

. In sistemul de coordonate amorsată ecuația curbei devine

.

Rețineți că pentru dată, adică curba curba este o elipsă. Rotiti axele de coordonate printr-un unghi

, care se găsește din ecuație. Această ecuație are două soluții:. ca, obținute două soluții corespund celor două direcții reciproc perpendiculare. Prin urmare, înlocuirea un unghi la altul conduce numai pentru a înlocui axaosie(Sau invers). Să luăm în considerare prima decizie. Având în vedere căși, descoperimși, precum și coeficiențiiși. Reamintim că, pentru a găsi unghiul de rotație a axelor de coordonate este egalitatea. Astfel, ecuația curbei în noul sistem de coordonate presupune forma

.

Avem ecuația canonică a unei elipse cu semi-axe

.