Vectorii în plan și în spațiul

Vvedenie.docx

Vectorii în plan și în spațiu.

Definiții și proprietăți cheie.

Definiție 1.1. segment Vektoromnazyvaetsyanapravlenny. Vectorii sunt considerate pe un plan (bidimensional) și în spațiu (tridimensional). În acest sens și în celălalt caz, vectorul este determinat de o pereche ordonată de puncte, primul dintre care începutul vectorului (sau un punct de aplicare), celălalt - sfârșitul vectorului; vector este dirijat de la început până la sfârșit. Cifra este reprezentată printr-un vector de săgeată (fig. 1). Pentru vectorii utilizați caractere a, b, x și m P..; în cazul în care A și B. Prin urmare, punctele de început și de sfârșit ale vectorului, acest vector este desemnat sau.

Determinarea segmentului 1.2.Dlina AB nazyvaetsyadlinoyvektora. Lungime vektoraaoboznachaetsya | o |.

Definiția 1.3. Dacă începutul vectorului coincide cu vectorul final nazyvaetsyanulevym (notat cu 0 sau 0).

Lungimea vectorului de zero este zero. Direcția segmentului reprezentat doar zero, vectori.

Determinarea 1.4.Dva nenul nazyvayutsyakollinearnymi vector dacă se află pe o linie sau pe linii paralele. Zero vector este considerat a fi orice vector coliniare.

vectori coliniari pot fi aceeași direcție sau direcții opuse.

vector Determinarea 1.5.Dva numit egal dacă onikollinearny, îndreptate în mod egal și au aceeași lungime.

Fig. 2 prezintă vectori egali a și b. și Fig. 3 --neravnye

Determinarea vectorilor 1.6.Nenulevye nazyvayutsyakomplanarnymi dacă acestea sunt paralele cu același plan.

Orice doi vectori coplanare întotdeauna, și trei vectori pot sau nu pot fi coplanare. Fig. 4 prezintă triunghiulară prismă ABCA 1B 1C 1. Vectori. și coplanare și vectorii. și

nu sunt coplanare.

Adăugarea de vectori și multiplicarea unui vector de un număr numit operațiile liniare peste vectori.

Să ne amintim definiția și proprietățile de bază ale acestor operații.

Determinarea două nenulă vektoraaib (Fig. 5) sunt 1.7.Pust. De la sfârșitul vectorului vektoraaotlozhim egal vektorub. Vektorovaibnazyvaetsya suma vectorială. vector ce se extinde din vectorul final de origine = AB = b.

Denumire: = a + b. Această regulă se numește vector de regula plus triunghi.

Din proprietățile paralelogramului ar trebui să fie, în general, adăugarea paralelogram vectorilor: suma a două non-coliniari

este un vector de vectori, reprezentat o diagonală a paralelogramului construit pe acești vectori care provin de la originea lor comună (Figura 6).

Dacă cei trei vectori a, b și c necoplanare, suma lor pot fi găsite pe regula caseta. vector a + b + c diagonala paralelipipedului este reprezentat de vectorii a, b și c. având o origine comună (Figura 7).

Determinarea 1.8.Raznostyua-bdvuh vektorova și bnazyvaetsya cantitate vektoraai vectorul vektorub opus.

Rețineți că, dacă vectorii a și b. amânată din comună origine O putem construi un paralelogram (Figura 8), lungimea diagonalei având același început O. egală cu lungimea vectorului a + b. iar cealaltă lungimea diagonalei egală cu lungimea vectorului a-b.

Determinarea 1.9.Proizvedeniem vektoraana nenuli număr 0 ≠ x este un vector a cărui lungime este egală cu | x | • | A | și care este codirectional vektoruapri x> 0, care este îndreptată în direcția opusă la x <0. Произведение вектора a на число x обозначается x• a = x a.

Exemplul 1.1. Este cunoscut faptul că vectorii a, b, c sunt reciproc coliniari, dar vectorul este coliniar cu a + b c. iar vectorul b + c este coliniar cu a + b. Găsiți suma a + b + c.

Decizie. Prin ipoteză, există ≠ 0 și 0 valoarea: ≠ μ, astfel încât a + b = λ c și b + c = p a. Scăzând prima ecuație din al doilea, obținem o - c = c X - p a. prin urmare, o + p a = c + c X. Prin proprietatea găsi 5 (1+ μ) a = (1 + λ) c. Dacă 0 1 ≠ + μ 0 sau 1 ≠ + λ, atunci vectorii a și c sunt coliniari, aceasta contrazice condiția problemei, însă μ = 1 și λ = -1, ceea ce înseamnă că a + b = -c sau a + b + c = 0.

Artwork pentru produsul vectorial zero al oricărui număr și orice vector la zero, prin definiție, se presupune a fi vectorul zero.

operațiuni liniare cu vectori

operații liniare cu vectori au următoarele proprietăți:

Aici, a, b, c - vectori arbitrare; 0 - vectorul zero; x, y - numere arbitrare.

Teorema 1.1.Vektorbkollinearen vektoruatogda nenul și numai dacă există un număr x, chtob = xa.

Ancheta 1.1.Dlya coliniare vektorovaibravenstvo

Exemplul 1.2. Vectori a și b nu sunt coliniare. Găsiți, pentru orice x

vector c = (x-2) a + b, și d = (2x + 1) a-b sunt coliniari.

Decizie. C vector nenul, deoarece coeficientul b este diferit de

Prin urmare, există un număr de zero y, care d = yc, r. F.

Deoarece termenii din vectorul ecuație poate fi transferat dintr-un

o parte în alta, schimba semnul în fața acestor termeni pe

contrar, vom avea

Vectorii a și b nu sunt coliniare, așa

Rezolvarea acestui sistem, obținem y = -1 și x = 1/3. Când x = 1/3 vectori c și d

Ușor pentru a vedea că acestea sunt opuse: d = - c.

Să vectori a și b sunt non-coliniare, le-a pus pe un singur punct:

Si = a = b (fig. 10). Orice vector nenul c. coplanare cu

vectorii a și b. prin definiție, OAB este paralelă cu planul.

Dacă vă construi un vector = c. punctul C se află în planul OAB,

Prin urmare, spun că orice trei vectori coplanare pot fi transferate

Teorema 1.2. Dacă vectorii a și b sunt non-coliniari, atunci vectorul c

coplanar cu vectorii a și b dacă și numai dacă există o

Vectorul zero, prin definiție, considerată a fi coplanar cu orice

Exemplul 1.3. Pe latura triunghiului OBC punctul BC este N

astfel încât BN. BC = n (fig. 11). Descompune vectorul vectorilor și.

Decizie. Vectori și coliniare și coliniar, prin urmare,

= X și spațiu x> 0. Deoarece = n. apoi x = n și a = n.

Deoarece = - = i +.

Rețineți că, atunci când n = 1/2 este punctul de mijloc lateral N BC și ON - triunghiul median. În acest caz,

Teorema 1.3. În cazul în care vectorii o. b și cnekomplanarny. atunci orice vector d

poate fi reprezentat în mod unic sub forma d = xa + yb + zc.

Această reprezentare se numește extinderea vectorului d pentru cele trei

non-coplanar vectori a. b și c. și un vector d se numește liniar

combinație a vectorilor a. b și c.

Exemplul 1.4. Dana triunghiular prismă ABC (Fig. 12). descompus

vector de vectori

Decizie. regula Delta

Plierea părțile stângă și dreaptă a acestor ecuații vectoriale, obținem

Deoarece ambele. și că, în consecință,

Definiția 1.10. Unghiul dintre vectorii este denumit nenulă

unghiul dintre vectori egal cu datele și care au o origine comună. unghi

între vectorii, precum și unghiul dintre grinzi poate fi setat de la 0 ° la 180 °.

Informațiile privind vectorii în plan și în spațiu