Vectori și valori proprii
Definiția 9.3. Vectorul x se numește un vector propriu al matricei A. Dacă există un număr # 955;, că egalitatea: Ax = # 955; x, adică rezultatul aplicării transformării liniare la x, dată de matricea A. Aceasta este multiplicarea numărului de vector # 955;. numărul mare # 955; Se numește valorile proprii ale lui A.
Substituind formula (9.3) x`j = # 955; xj, obținem un sistem de ecuații pentru determinarea coordonatelor vectorului:
.
Acest sistem omogen liniar are o soluție nontrivial numai în cazul în care principalul său determinant este egal cu 0 (regula lui Cramer). Scrierea această condiție în forma:
o ecuație pentru determinarea valorilor proprii # 955;. numită ecuația caracteristică. Pe scurt poate fi reprezentat după cum urmează:
pentru că partea stîngă este determinantul matricei A # 955; E. Polinom în # 955; | A - # 955; E | Se numește polinomul caracteristic al matricei A.
Proprietățile polinomul caracteristic:
1) Polinomul caracteristic unei transformări liniare nu depinde de alegerea temei. Dovada. (Cm. (9.4)), dar, în consecință. Astfel, indiferent de alegerea temei. Prin urmare, | A- # 955; E | Acesta nu este schimbat în timpul tranziției la o nouă bază.
2) Dacă o matrice de transformare A lineară este o simetrică (adică Aij = aji), toate rădăcinile ecuației caracteristice (9.6) - sunt numere reale.
Proprietățile vectori și valori proprii:
1) Dacă alegeți o bază de vectori proprii x1. x2. x3. care corespunde valorilor proprii # 955; 1. # 955; 2. # 955; 3 matrice A în această bază o matrice de transformare liniară este diagonală de forma:
(9.7) Dovada acestei proprietăți rezultă din definiția vectorilor proprii.
2) Dacă autovalorile transformare A sunt diferite, vectorii proprii corespunzătoare sunt liniar independente.
3) În cazul polinomul caracteristic al matricei A are trei rădăcini diferite, într-o anumită matrice bază A este diagonală.
Formele 29VOPROSKvadratichnye și matricea lor. Reducerea formelor patratice la transformarea ortogonală forma canonică. Sign-definit forme pătratice. Condiții de forme pătratice-semn definite.
Pătratice formă / (hih2. X „) n variabile reale x1, x2. x „este suma formei
Forma pătratică se numește reală sau complexă, în funcție de faptul dacă coeficienții săi de numere reale sau complexe. Să luăm în considerare formele pătratice reale.
Matricea formei pătratice este o matrice compusă din coeficienți săi. Formularul pătratice (11.1) corespunde unei matrice simetrică unică
Pe de altă parte, fiecare matrice simetrică (11.3) corespunde unei singure pătratică formă de până pentru a desemna variabile.
Rangul formei pătratice se numește rangul matricei sale. Forma pătratică de n variabile este nesingular dacă ei nesingular matrice, t. E. R = n și degenerat dacă g <п.
Formularul pătratice (11.1) n variabile xl, x2. x „poate fi scris în vtstse matrice. Într-adevăr, în cazul în care X - matricea coloană de variabile
- matrice obținută prin transpunerea matricei e. rd matrice aceleași variabile,
În care A este definit prin formula (11.3).
Transformare ortogonală. Pentru a conduce-ing formă pătratică f (xl, x2, x3) la forma canonică (10,4), este necesar să se scrie sub forma de matrice pătratică
în care T Aij = Aji. e. Componentele care sunt simetrice în raport cu principalele coincid-Gon dia. Apoi, vom face în sus și de a rezolva ecuațiile caracteristice set:
Deoarece matricea este simetrică, rădăcinile # 955; 1, 955 # 2, # 955, 3, ecuația caracteristică sunt numere reale. S-au găsit valori proprii sunt coeficienții de forma canonică forma pătratică ba-zise e'1, e'2. e'3:
Fie găsit vectorul propriu normalizat corespunzător-ing numerele caracteristice # 947; 1 # 947; 2. # 947; 3 într-o bază ortonormală e1, e2. e3:
La rândul său, vectorii e'e2. e'z formează o bază ortonormală. matrice
Formula transformare de coordonate la trecerea la noua bază-ortonor gramat au forma:
Noi spunem că forma pătratică f (xl, x2, x3), se referă la forma canonică folosind ortogonală V. transformare
Metoda Lagrange pentru izolarea pătrate pline. Dată fiind o formă Quadra Ung (YU.Z) și lăsați toți coeficienții de aij (pătratele 2 xi), i = 1,2,3. zero, și în același timp, o formă care nu este identic zero, atunci produsul nenulă, cel puțin unul, de exemplu 2al2 x1 x2. t. e.
Efectuam transformare bază în care coordonatele vectorilor în bazele vechi și noi sunt legate de:
Astfel, există întotdeauna o bază, în care în forma pătratică cel puțin un coeficient de pătrat este nenul.
Real pătratice forma / (x., X2, este numit pozitiv
Dar-sigur dacă acesta este redus la forma normală, format din pătrate pozitive l / (x], x2 x“.)
E. Dacă rangul și indicele pozitiv de inerție sunt egale cu numărul de necunoscute.
Sistemul Hih2 de valori. xn se spune că este zero dacă xx = x2 =. = X „= O, și nenulă, dacă cel puțin una dintre ele este diferit de zero.
T și 11,6 EO real. Forma actuală a pătratice / (*. * 2. X „) este pozitiv definită dacă și numai dacă este nevoie de o valoare pozitivă la orice valori nenule ale variabilelor de sistem
Să o formă pătratică / (xl, x2. Xn) cu matricea A = (aij). minori principale ale formei pătratice / este numit un minor
E. Minorii de ordine Matrix. situat în colțul din stânga sus;
Ultima dintre ele coincide cu determinantul matricei.
Teorema 11.7. forma pătratică cu reale
Matricea este pozitiv definită dacă și numai dacă toate principalele sale minori sunt pozitive.
Formularul Real pătratice se numește bine definit negativ, în cazul în care este non-degenerat și să conducă la vizualizarea normală care conține numai pătrate negative ale tuturor variabilelor; această formă poate fi redus la forma
Teorema 11.8. Forma pătratică este negativ definită dacă și numai dacă principalii săi minori sunt pozitive, chiar și ordine ciudat - negativ.
Formele pătratice pozitive și negative nehotărât-definite sunt numite semn fix de forme pătratice.
Formele pătratice degenerate, care sunt GDI normale este format din pătrate de același semn se numesc semidefinite.
Incert numite forme pătratice, o formă normală, care conține variabile pătrate pozitive și negative.
30 forme pătratice Aplicație Q la studiul curbelor și suprafețelor de ordinul al doilea.
formă pătratică necunoscutele este suma fiecărui termen de care este un pătrat al unuia dintre necunoscut, sau produsul a două necunoscute diferite.