Variația variabilei aleatoare
În acest termen, există alte utilizări, vezi. Dispersia.
Variația variabilei aleatoare - măsura răspândirea acestei variabile aleatoare. adică abaterea de la așteptările. Denotat \ (D [X] \), în literatura rusă și \ (\ operatorname (X) \) (Eng. Variance) în străin. Statisticile folosesc adesea notația \ (\ sigma_X ^ 2 \) sau \ (\ displaystyle \ sigma ^ 2 \). Rădăcina pătrată a varianței egală \ (\ displaystyle \ sigma \), se numește deviație standard. abaterea standard sau abaterea standard. Abaterea standard măsurată în aceleași unități. ca ea însăși o variabilă aleatoare, iar dispersia se măsoară în pătrate de această unitate.
Din inegalitatea lui Cebîșev, rezultă că probabilitatea ca o variabilă aleatoare este separată de așteptarea matematică a mai mult k abateri standard de mai puțin de 1 / k ². De exemplu, cel puțin 95% dintr-o variabilă aleatoare cu distribuție normală, scos din media sa nu mai mult de două abateri standard, iar aproximativ 99,7% - nu mai mult de trei.
Determinarea [citare]
Să \ (X \) - o variabilă aleatoare definită pe un spațiu de probabilitate. Apoi $$ D [X] = M \ stânga [| X -M [X] | ^ 2 \ right] $$
Comentarii [regula]
- Dacă variabila aleatoare \ (X \) este real. apoi, datorită liniarității așteptărilor, avem formula: \ (D [X] = M [X ^ 2] - \ stânga (M [X] \ dreapta) ^ 2; \)
- Dispersia este al doilea moment central al unei variabile aleatoare;
- Dispersia poate fi infinit. A se vedea. De exemplu, distribuția Cauchy.
- Dispersia poate fi calculată utilizând funcția momentul generatoare de \ (U (t) \): \ (D [X] = M [X ^ 2] - \ stânga (M [X] \ dreapta) ^ 2 = U '' (0 ) - \ stânga (U „(0) \ dreapta) ^ 2 \)
- Dispersia întreg variabila aleatoare poate fi calculată prin generarea funcției.
- O formulă convenabilă pentru calcularea dispersiei secvenței aleatorii \ (X_1 X_n \.): (! \ D = \ dfrac ^ nX_i ^ 2 - \ dfrac ^ n X_i \ dreapta) \> ^ 2> \)
Proprietăți [modifică]
- Dispersia oricărei variabile aleatoare nenegative: \ (D [X] \ geqslant 0; \)
- În cazul în care variația variabilei aleatoare este finită, atunci cursul și așteptările acestuia;
- Dacă valoarea aleatoare este constantă, dispersia nulă: \ (D [a] = 0. \) În schimb, în cazul în care \ (D [X] = 0, \) apoi \ (X = M [X] \) ae;
- Dispersia suma a două variabile aleatoare este: \ (\ D [X + Y] = D [X] + D [Y] + 2 \, \ text (X, Y) \!), În cazul în care \ (\ \ text (X! , Y) \) - covarianța;
- La dispersia oricărei combinații liniare a mai multor variabile aleatoare următoarea ecuație :! \ (\ D \ stânga [\ sum_ ^ n c_i X_i \ right] = \ sum_ ^ n c_i ^ 2 D [X_i] + 2 \ sum_ c_i c_j \, \ text (X_i, X_j) \), în cazul în care \ (c_i \ în \ R \);
- În special, \ (D [X_1 + + X_n.] = D [X_1] + + D [X_n] \.) Pentru orice variabile aleatoare independente sau necorelate, ca covarianței lor este zero;
- \ (D \ stânga [aX \ right] = a ^ 2D [X]; \)
- \ (D \ stânga [-X \ dreapta] = D [X]; \)
- \ (D \ stânga [X + b \ dreapta] = D [X]. \)
EXEMPLU [citare]
Lăsați variabila aleatoare \ (\ displaystyle X \) are o distribuție standard uniform pe \ (\ displaystyle [0,1] \) adică densitatea de probabilitate este dată de ecuația $$ f_X (x) = \ stângă \<\begin 1, & x\in [0,1] \\ 0, & x \not\in [0,1]. \end \right.$$
Apoi așteptarea pătratul cantității aleatoare $$ M \ stânga [X ^ 2 \ dreapta] = \ int \ limits_0 ^ 1 \! X ^ 2 \, dx = \ la stânga. \ Frac \ dreapta \ vert_0 ^ 1 = \ Frac, $$ și așteptarea unei $$ variabile aleatoare M \ stânga [X \ dreapta] = \ int \ limits_0 ^ 1 \! x \, dx = \ stânga. \ Frac \ dreapta \ vert_0 ^ 1 = \ frac $$ Apoi variația aleatoare $$ variabilă D [X] = M \ stânga [X ^ 2 \ dreapta] -. (M [X]) ^ 2 = \ frac - \ left (\ frac \ dreapta) ^ 2 = \ frac. $$