Unele ecuații Diofantine

Diophantine ecuație - ecuația forma P (X1 ..., xn.) = 0. în cazul în care partea stângă este un polinom în x1 variabile. ..., xn cu coeficienți întregi. Orice set ordonat (u1, ..., ONU), numere întregi cu P (. U1 ..., ONU) = 0 se numește soluția de proprietate (privată) a ecuației Diophantine P (. X1 ..., xn) = 0. Rezolva ecuația Diophantine - înseamnă a găsi toate sale soluții, și anume soluția generală a acestei ecuații.

Scopul nostru este de a învăța cum să găsească soluții de anumite ecuații Diofantine, în cazul în care aceste soluții acolo.

Pentru a face acest lucru, trebuie să răspundă la următoarele întrebări:

a. Este întotdeauna o ecuație Diophantine are o soluție, pentru a găsi condițiile pentru existența unor soluții.

b. Există un algoritm pentru a găsi soluția ecuației Diophantine.

Exemple: 1. Diophantine ecuație 5x- 1 = 0 nu are nici o soluție.

2. 5x- Diophantine ecuația 10 = 0 are o soluție x = 2. care este unic.

5.x2-y2 = a - gradul al doilea ecuație Diophantine cu două necunoscute x și y, pentru orice întreg a. Are soluții pentru a = 1, dar nu are soluții pentru a = 2.

§ 1. ecuații liniare Diofantine

Următorul nostru obiectiv - pentru a afla cum să găsească soluții particulare și generale de ecuații liniare Diofantine cu două necunoscute. Este evident că orice ecuație Diophantine omogen a1x1 + ... + anxn = 0 are întotdeauna o soluție (0, ..., 0).

Evident, ecuația Diophantine liniară, ale cărei coeficienți sunt zero, o decizie numai atunci când partea dreapta a acestuia este zero. În general, avem următoarele

Teorema (existența unor soluții de ecuații liniare Diofantine). ecuație liniară Diophantine a1x1 + ... + anxn = c. nu toate ale căror coeficienți sunt zero, are o soluție dacă și numai dacă GCD (a1, ... o.) | c.

Această teoremă oferă un algoritm constructiv pentru găsirea de soluții particulare de ecuații liniare Diofantine.

Exemple: 1. liniară ecuație Diophantine 12x + 21Y = 5 nu are nici o soluție, deoarece GCD (12, 21) = 3 5 nu divide.

2. Găsiți o soluție particulară a ecuației Diophantine 12x + 21Y = 6.

Este evident acum că GCD (12, 21) = 3 | 6. astfel încât să existe o soluție. Noi scriem GCD dilatare liniară (12, 21) = 3 = 122 + 21 (-1). Prin urmare, abur (2; 1) - o soluție particulară a ecuației 12x + 21Y = 3. un cuplu (4, -2) - pornind o soluție particulară a ecuației 12x + 21Y = 6.

3. Găsiți o soluție particulară a ecuației liniare 12x + 21Y - 2z = 5.

Deoarece (12, 21, -2) = ((12, 21) -2) = (3, -2) = 1 | 5. că există o soluție. Ca urmare a Demonstrația teoremei, mai întâi să găsim o soluție a ecuației (12,21) x-2y = 5. și apoi substituind expansiunea liniară a cmmdc a problemei precedente, obținem ecuația de mai sus.

Pentru a rezolva ecuația 3 - 2y = 5 scriere cmmdc dilatare liniară (3, -2) = 1 = 31-21 evident. Prin urmare, perechea de numere (1, 1), este o soluție de 3x- 2y = 1 și perechea (5, 5) - soluție parțială ecuație Diophantine 3 - 2y = 5.

Astfel, (12, 21) este 5-25 = 5. gasit expansiune anterior înlocuind liniar (12, 21) = 3 = 122 + 21 (-1). se obține (122 + 21 (-1)) 5 - 25 = 5 + 21 sau 1210 (-5) - 25 = 5. adică Trei întregi (10; -5, 5) este o anumită soluție de pornire ecuație Diophantine 12x + 21Y - 2z = 5.

Teorema (pe structura soluției generale a ecuației Diophantine liniare). ecuație liniară Diophantine a1x1 + ... + anxn = c următoarele aserțiuni:

(1) if = (u1, ..., un), = (v1, ..., Vn) menționate - soluțiile sale parțiale, diferența (u1- v1; ...; vzg un-) - care corespunde unei soluții particulare a ecuației omogene a1x1 + ... + anxn = 0

(2) o multitudine de soluții particulare ale ecuației liniare Diophantine omogene a1x1 + ... + anxn = 0 este închis sub adunare, scădere și înmulțirea cu numere întregi,

(3) În cazul în care M - soluția generală dată ecuații liniare Diofantine și L - soluția generală a ecuației Diophantine omogene corespunzătoare, pentru orice soluție particular = (u1, ..., un) pornind egalitatea ecuației M = + L.

= (U1, ..., in), = (v1; ...; vzg) M L.

Acest lucru se dovedește (1).

In mod similar se dovedește (2):

,LzZLzL.

Pentru a dovedi (3) prima notă că M + L. Rezultă din cele de mai sus: M + L.

Pe de altă parte, în cazul în care a = (l1; ...; ln) L și = (u1, ..., un) M, apoi M:

Astfel, + LM. și, eventual, M = + L.

Teorema de mai sus are o semnificație geometrică clară. Dacă luăm în considerare ecuația liniară a1x1 + ... + anxn = c. în cazul în care Hir. așa cum se cunoaște din geometria, definește un hiperplan în spațiul Rn, L obținută din ecuația omogenă c planul a1x1 + ... + anxn = 0. trecând prin origine este deplasată de către un vector Rn. Suprafața formei + L sunt de asemenea numite liniar spațiu colector L cu ghidajul și vectorul de deplasare. Astfel, se dovedește că soluția generală ecuația M Diophantine a1x1 + ... + anxn = c este format din toate punctele unui colector liniar având coordonatele întreg. Coordonatele vectorului de deplasare, de asemenea, întregi, precum și soluțiile set L ale ecuației Diophantine omogen a1x1 + ... + anxn = 0 este format din toate punctele cu coordonate spațiale de ghidare întreg. Din acest motiv, este de multe ori a spus că setul de soluții ecuații Diophantine arbitrară este un colector liniar cu vectorul de deplasare și spațiul de ghidare L.

Exemplu: la Diophantine ecuația x - y = 1 M soluție generală este dată de (1 + y, y), unde už. soluția parțială = (1, 0). și soluția generală a ecuației omogene L x - y = 0 poate fi scris ca (y, y). în cazul în care už. Astfel, este posibil să se tragă următoarea imagine la care pornind ecuațiile soluțiile Diofantine și ecuația Diophantine omogene corespunzătoare reprezentat puncte grase în spațiul liniar al colectorului M și, respectiv, L.

2. Găsiți soluția generală a ecuației Diophantine 12x + 21Y - 2z = 5.

O anumită soluție (10, -5, 5) ecuației a fost găsită anterior, găsi o soluție generală a ecuației omogene 12x + 21Y - 2z = 0. Ecuația Diophantine echivalentă 12x + 21Y = 2z.

Pentru Solvabilitatea ecuației dacă și numai dacă condițiile de GCD (12, 21) = 3 | 2Z, și anume 3 | z sau z = 3t pentru un întreg t. Împărțind ambele părți de a obține 3. 4x + 7Y = 2t. O anumită soluție de (2, -1) 4x ecuație Diophantine + 7Y = 1 găsit în exemplul anterior. De aceea (4t; -2t) - o soluție particulară a ecuației 4x + 7Y = 2t pentru fiecare

Tz. Soluția generală a ecuațiilor omogene corespunzătoare

(7U; -4u) a gasit. Astfel, soluția generală a ecuației 4x + 7Y = 2t are forma: (4T + 7U; -2t - 4u). și soluția generală 12x + 21Y omogenă ecuație - 2z = 0 poate fi scrisă ca:

Este ușor de văzut că acest rezultat este în concordanță cu cele de mai sus a arătat, fără dovada soluției ecuației Diophantine omogen a1h1 + ... + anhn = 0 dacă P =, F și

(U; t) P - soluția generală a ecuației omogene considerate.

Astfel, soluția generală a ecuației Diophantine 12x + 21Y - 2z = 5 este după cum urmează: (10 + 4t + 7u; -5 - 2t - 4u; 5 + 3t).

3. În exemplul din ecuațiile anterioare ilustrează o altă metodă de rezolvare a ecuațiilor Diofantine multe necunoscute, care constă din module succesive reducând valoarea maximă a coeficienților.