Metode Lecția algebra pentru rezolvarea ecuațiilor de grade mai mari

educația matematică a primit în școală secundară, este o componentă esențială a educației generale și de cultură generală a omului modern.

Renumitul matematician german Courant a scris: „Pentru mai mult de două milenii, posesia unor cunoștințe nu prea superficială de matematică a inclus o parte necesară în echipamentul intelectual al fiecărei persoane educate.“ Iar printre aceste cunoștințe nu este ultimul loc aparține capacitatea de a rezolva ecuații.

Deja în cele mai vechi timpuri, oamenii au dat seama cât de important este să învețe să rezolve ecuații algebrice. Acum aproximativ 4.000 de ani, oamenii de știință babiloniene aveau soluția unei ecuații pătratice și de a rezolva un sistem de două ecuații, din care unul - al doilea grad. Folosind ecuațiile pentru a rezolva diferite sarcini topografie, arhitectură și afacerile militare, au venit în jos de multe și variate aspecte ale practicii și științei ca limbă precisă a matematicii îl face ușor să-și exprime fapte și relații care, astfel cum este prevăzut în limbajul obișnuit, poate părea confuz și complicat. Ecuația este una dintre cele mai importante concepte ale matematicii. Dezvoltarea de metode de rezolvare a ecuațiilor, începând cu nașterea matematicii ca știință, a fost mult timp un subiect important de algebră studiu. Astăzi, în clasa de matematică, începând cu primul pas de formare, rezolvarea diverselor tipuri de ecuații plătite multă atenție.

Formula universală pentru a găsi rădăcinile unei ecuații algebrice de n - lea grad nu sunt prezente. Mulți, desigur, a venit cu ideea de a găsi tentant pentru orice grad n formulă care ar exprima rădăcinile ecuației de coeficienții, adică, pentru a rezolva ecuația în radicalii. Cu toate acestea, „Evul Mediu“ a fost nu a putut fi mai sumbru și discutate în legătură cu problema - în formulele necesare nimeni nu a găsit pentru cât mai puțin de șapte secole! Abia în secolul al 16-lea matematician italian a fost capabil să meargă mai departe - pentru a găsi o formulă pentru n = 3 și n = 4. În același timp, problema soluției generale a ecuațiilor de gradul al treilea angajat Stsipion Dal Ferro, elevul său Fiori, și Tartaglia. În 1545, o carte de matematicianul italian Cardano D „mare arta, sau despre regulile de algebra“, în cazul în care, printre altele se ocupă probleme de algebra cu metodele generale de rezolvare a ecuațiilor cubice, precum și o metodă de rezolvare a ecuațiilor 4 - lea grad, a deschis elevul său L. Ferrari. Detalii complete despre probleme legate de rezolvarea unor ecuații de grade a 4-a 3-a dat F. Wyeth. Și în anii 20 ai secolului al 19-lea matematician norvegian Abel a demonstrat că rădăcinile ecuațiilor 5 și grade mai mari nu pot fi exprimate în termeni de radicali.

Procesul de a găsi soluții la ecuația este de obicei în echivalent cu ecuația este înlocuită. Înlocuirea ecuației este echivalentă bazată pe utilizarea a patru axiome:

1. În cazul în cantități egale a crescut cu același număr, atunci rezultatele vor fi aceleași.

2. În cazul în care din cantități egale scade același număr, atunci rezultatele vor fi la fel.

3. În cazul în cantități egale înmulțit cu același număr, atunci rezultatele vor fi la fel.

4. În cazul în cantități egale, împărțite în același număr, atunci rezultatele vor fi aceleași.

Deoarece partea stângă a ecuației P (x) = 0 este un polinom de putere n-lea, este util să amintim următoarele afirmații:

Declarațiile despre rădăcinile unui polinom și subgrupurile sale:

1. Gradul n-lea polinomiale este numărul de rădăcini nu este mai mare decât numărul n, iar rădăcinile multiplicitate m apare exact m ori.

2. Polinomul de grad impar are cel puțin o rădăcină reală.

3. Dacă α - rădăcina F (x), F n (x) = (x - α) · Qn - 1 (x), unde Qn - 1 (x) - un polinom de grad (n - 1).

4. Fiecare rădăcină întreg al unui polinom cu coeficienți întregi este un subgrup al unui membru gratuit.

5. Avem un polinom cu coeficienți întregi nu poate avea o fracționare rădăcini raționale.

6. Pentru polinomul de gradul trei

P3 (x) = ax 3 + 2 + bx cx + d poate unul din două lucruri: fie este descompus într-un produs de trei binomi

P3 (x) = a (x - α) (x - β) (x - γ), sau descompus într-un produs al P3 polinom binom și pătratice (x) = a (x - α) (x 2 + βh + γ).

7. Orice polinom de gradul al patrulea este un produs de două trinomials pătrați.

8. f polinomul (x) este divizibil cu polinomul g (x), fără un rest, daca exista un q polinom (x), care f (x) = g (x) · q (x). Pentru regula de divizare polinom se aplică „zonă de diviziune“.

9. divizibilitate P (x) polinomul de binom (x - c), este necesar și suficient ca o rădăcină a fost P (x) (corolar Teorema Bézout).

10. Vieta Teorema: Dacă x1. x2. ..., xn - rădăcini reale ale polinomului

F (x) = A0 x x n + a1 n - 1 + ... + AN. apoi egalitățile:

Exemplul 1. Găsiți restul diviziunii P (x) = x 3 + 2/3 x 2 - 1.9 (x - 1.3).

Decizie. Prin corolar al teoremei Bézout „Remainder polinom de binom (x - c) este valoarea unui polinom“. Gasim P (1/3) = 0. Prin urmare, restul este numărul 0 și 3.1 - rădăcina polinomului.

Exemplul 2. «Zona» 2x 3 + 3x 2 - 2x 3 + (x + 2). Găsiți restul și coeficientul parțial.

2x 3 + 3x 2 - 2x + 3 | x + 2

2x 3 + 4x 2x 2x 2

Răspuns: R = 3; Privat: 2x 2x.

Metode de bază pentru rezolvarea ecuațiilor de grade mai mari

1. Introducerea unei noi variabile

Metoda de administrare variabilă nouă este aceea că soluțiile ecuației f (x) = 0 este introdusă o variabilă nouă (substituție) t = xn sau t = g (x) și este exprimat f (x) prin t, obtinandu-se o nouă ecuație r (t) . Rezolvarea ecuației atunci r (t), sunt rădăcinile: (.. T1 t2 ..., tn). După acest set de n ecuații obținute q (x) = t1. q (x) = t2. .... q (x) = tn. din care sunt rădăcinile ecuației originale.

exemplu; (X 2 + x + 1) 2 - 3 2 - 3x - 1 = 0.

Soluție (x 2 + x + 1) 2 - 3 2 - 3x - 1 = 0.

(X 2 + x + 1) 2 - 3, (x 2 + x + 1) + 3 - 1 = 0.

Schimbare (x 2 + x + 1) = t.

x 2 + x + 1 = 2 sau x 2 + x + 1 = 1;

x 2 + x - 1 = 0 sau x 2 + x = 0;

Din prima ecuație: x1 2 = (-1 ± √5) / 2 din al doilea 0 și -1.

introducerea unei noi metode de variabilă este folosită pentru a rezolva ecuațiile de întoarcere, adică, ecuațiile de forma a0 a1 x n + x n - 1 +. + A 1 x + n- și n = 0, în care coeficienții termenii ecuației sunt distanțate în mod egal de la începutul și sfârșitul sunt egale.

2. Factoring prin gruparea și formule de multiplicare abreviată

Baza acestei metode constă în gruparea termenilor în așa fel încât fiecare grup conținea un factor comun. Pentru a face acest lucru, uneori, este necesar să se aplice anumite soluții.

Exemplul X 4 - 3x 2 + 4 - 3 = 0.

Decizie. Reprezintă - 3x 2 = -2x 2 - x 2 și grupa:

(X 4 - 2x 2) - (x 2 - 4 + 3) = 0.

(X 4 - 2x 2 + 1 - 1) - (x 2 - 4 + 3 + 1 - 1) = 0.

(2 x - 1) 2 - 1 - (x - 2) 2 + 1 = 0.

(2 x - 1) 2 - (x - 2) 2 = 0.

(X 2 - 1 - x + 2) (x 2 - x + 1 - 2) = 0.

(X 2 - x + 1) (x 2 + x - 3) = 0.

x 2 - x + 1 = 0 sau x 2 + x - 3 = 0.

În prima ecuație au rădăcinile de secundă: x1 2 = (-1 ± √13) / 2.

3. Metoda Factoring coeficienților nedeterminați

Metoda constă în faptul că polinomul original este descompus în factori cu coeficienți necunoscuți. Folosind proprietatea că polinoame sunt egale, dacă acestea sunt egale coeficienții de aceleași puteri, sunt coeficienți de expansiune necunoscute.

Exemplu: 3 x 2 + 4x + 5x + 2 = 0.

Decizie. Polinom de gradul al treilea pot fi luate într-un produs de factori liniari și pătratice.

3 x 2 + 4x + 5x + 2 = (x - a) (x 2 + bx + c),

3 x 2 + 4x + 5x + 2 = x 3 + bx 2 + cX - ax 2 - ABH - ac,

3 x 2 + 4x + 5x = x 2 + 3 + (b - a) x 2 + (c - ab) x - ac.

3 x 2 + 4x + 5x + 2 = (x + 1) (x 2 + 3 + 2).

Rădăcinile (x + 1) (x + 3 + 2 2) = 0 sunt ușor.

4. Metoda de selectare rădăcina bătrânului și factorul liber

Metoda se bazează pe utilizarea teoreme:

1) Fiecare rădăcină a unui polinom cu coeficienți întregi este un subgrup al unui membru gratuit.

2) La o fracție ireductibilă p / q (p - un număr întreg, q - pozitiv) a avut rădăcina ecuației cu coeficienți întregi, este necesar ca numărul p să fie un număr întreg divizorul a0 termen constant. și q - dezbină naturale coeficientul de conducere.

Exemplu: 6 × 3 + 7x 2 - 9x + 2 = 0.

Prin urmare, p / q = ± 1, ± 2, ± 1/2, ± 1/3, ± 2/3, ± 1/6.

Găsirea unul rădăcină, de exemplu - 2, rădăcinile găsesc alta folosind zona divizare, o metodă de coeficienți nedeterminați sau schema Horner.

Această metodă constă în construirea grafice și folosind proprietățile funcțiilor.

Exemplu: x 5 + x - 2 = 0

Noi reprezentăm Ecuația 5 în forma x = - x + y = 2. Funcția x 5 este în creștere, iar funcția y = - x + 2 - scădere. Prin urmare, ecuația x 5 + x - 2 = 0 are o rădăcină unică de -1.

Ecuația 6.Umnozhenie la o funcție.

Uneori, soluția unei ecuații algebrice se face în mod substanțial mai ușor dacă multiplica ambele părți printr-o funcție - necunoscută polinomială. Trebuie amintit că posibila apariție a rădăcinilor inutile - rădăcini ale unui polinom, care au multiplicat în ecuație. Prin urmare, este necesar să se înmulțește cu un polinom, care nu are rădăcini, și pentru a obține ecuația este echivalentă cu sau multiplicată cu un polinom având rădăcinile, și atunci este necesar să se înlocuiască fiecare dintre aceste rădăcini în ecuația originală și de a determina dacă acesta este numărul de rădăcinile sale.

Exemplu. Rezolva ecuația:

Soluție: Înmulțind ambele părți prin polinomul 1 + X 2, care nu are rădăcini, obținem ecuația:

(2 X 1) (X 8 - X 6 + X 4 - X 2 + 1) = 0 (2)
echivalentă cu ecuația (1). Ecuația (2) poate fi scrisă ca:

X 10 + 1 = 0 (3)
În mod evident, ecuația (3) nu are rădăcini reale, așa că ecuația (1) nu le are.

Raspuns: nu există soluții.

În plus față de aceste metode pentru rezolvarea ecuațiilor de grade mai mari, există alte. De exemplu, alocarea pătrat plin, reprezentare diagrama Horner a fracțiunii sub forma a două fracțiuni. Dintre metodele comune de rezolvare a ecuațiilor de grade mai mari, care apar cel mai frecvent utilizate: metoda extinderii stânga factoring;

Aproape tot ceea ce ne înconjoară, este legată într-o anumită măsură, cu matematica. Și realizări în fizică, inginerie, tehnologia informației confirmă acest lucru numai. Și ceea ce este foarte important - rezolvarea multor probleme practice se reduce la rezolvarea diferitelor tipuri de ecuații care trebuie să învețe să se ocupe.