Ue 4

Scopul tau: pentru a consolida competențe și abilități în rezolvarea problemelor cuvânt cu ecuații.

Sunteți deja familiarizat cu rezolvarea problemelor cuvânt folosind ecuații liniare. Acum, ia în considerare soluția problemelor cuvânt folosind ecuații pătratice. ecuații pătratice poate rezolva multe probleme în fizică, chimie și inginerie. În cursul rezolvării problemelor de cuvinte pot fi urmărite înapoi schemă aplicarea matematicii la studiul dispozitivului de fapt. Se compune din trei etape.

Prima etapă. Traducerea situației reale în limbaj matematic (compilare a ecuației).

Două etape. Soluție construită în cadrul modelului matematic (soluția ecuației).

Etapa a treia. Interpretarea soluției obținute (compararea soluțiilor la starea problemei).

Problema 1. Din două numere naturale mai mari decât prima secundă până la 8 ori. Găsiți aceste numere în cazul în care produsul lor este egal cu 392.

Decizie. Să primul număr, apoi al doilea - 8x. Conform problemei alcătuim ecuația:

= 392 sau = 49, unde.

Ecuația Compusă are două rădăcini: - 7 și 7.

Prin starea valorilor admise ale variabilei sunt singurul număr natural, astfel încât numărul de -7 nu este o soluție la această problemă. Deci, primul număr este de 7, iar al doilea 56.

2. Corpul 3adacha aruncat în sus, cu o viteză inițială (m / s). După cât de multe secunde, va fi la o înălțime h (m) deasupra punctului de renunti?

Decizie. Desigur, fizicii știm că, dacă vom ignora rezistența aerului, înălțimea h (m) la care a aruncat vertical în sus prin corpul ar fi t secunde, poate fi găsit prin formula

în care: - viteza inițială (m / s); g - accelerația gravitațională (m / s2).

Formula (1) în forma:

Aplicarea formulei pentru rădăcinile ecuației pătratice-TION, obținem:

În sensul sarcinii> 0, g> 0, h> 0, t dorit> 0 ora.

dacă <2gh (т. е. ), то уравнение не имеет действительных корней. Значит, начальная скорость недостаточна для того, чтобы тело могло подняться на высоту h.

Dacă (.. Ie), atunci ecuația are o singură rădăcină: semnificația fizică a problemei constă în faptul că organismul în câteva secunde pentru a ajunge la o înălțime h o dată.

Dacă (r. F.), atunci ecuația are două rădăcini și două pozitive și mai mult decât atât, din moment

Satisface atât starea problemei constatate de rădăcină. Corpul este turnat la o astfel de viteză, care ar putea merge mai mare decât h m Prin urmare, acesta a fost vizitat de la înălțimea h m de două ori. Atunci când se deplasează în sus și în jos, în toamna.

Sarcina 1. Ia o foaie curată de hârtie și pe ea scrie în jos răspunsurile la aceste exerciții orale de mai jos.

Verificați dacă răspunsurile cu răspunsurile sau instrucțiunile de scurte plasate la capătul elementului de formare sub titlul „Asistentul tău.“

1. Scrieți o ecuație pentru a rezolva problema:

a) un număr mai mare decât celelalte 3, iar produsul lor este de 70. Găsiți numerele.

b) ipotenuzei unui triunghi dreptunghic este egală cu 10 cm. Găsiți picioarele triunghiului, în cazul în care se știe că unul dintre picioare este mai mult decât un alt 2 cm.

2. Asigurați-vă ecuația pentru a rezolva problema:

a) un număr mai mare decât celelalte 9 și pătrat-l la 279 mai mare decât pătratul alt număr. Găsiți aceste numere.

b) un picior al unui triunghi drept la 8 cm mai mici decât ipotenuza, iar cealaltă barcă de 4 cm mai mică decât ipotenuza. Găsiți ipotenuzei.

c) Găsiți trei numere întregi consecutive, suma pătratelor este egală cu 1,589.

Cu anumite tipuri de următoarele sarcini pe care le puteți întâlni pe lecțiile de matematică. Auto-determinare, care dintre următoarele sarcini trebuie să efectuați. În caz de dificultate, consultați secțiunea „Asistentul tău“, sfatul unui profesor sau un prieten pentru ajutor.

Sarcina 2. a) Produsul a două numere pozitive consecutive este 156. Găsiți aceste numere.

b) Produsul a două numere întregi pozitive, dintre care unul este 7 mai mult decât celălalt, precum și 198. Găsiți aceste numere.

3. Picioarele țintă ale unui triunghi ipotenuză dreapta mai mică de 8 cm, iar celălalt picior este de 20 cm. Gasiti perimetrul triunghiului.

Target 4. Perimetrul triunghiului dreptunghiular este de 36 cm, 15 cm și ipotenuzei. Găsiți picioarele triunghiului.

5. Setarea. Perimetrul unui dreptunghi este de 58 cm În cazul în care una dintre părți să crească cu 5 cm, iar cealaltă -. 3 cm, suprafața unui dreptunghi crește cu 126 cm 2. Localizați dreptunghiului.

6. Raza țintă a uneia dintre cele două cercuri concentrice 5 cm raza peste alta. Inel zonă închisă între aceste cercuri este 1.25 cerc mic pătrat. Găsiți razele cercurilor. (Notă.).

Sarcina 7. Fiecare elev o clasă planificat să felicit Anul Nou fiecare dintre colegii săi FELICITARE. Sa dovedit, în acest caz, care a fost trimis în 1332 carduri. Au existat mulți elevi în această clasă?

8. Stabilirea numărului de puncte de date într-un plan. Nr trei dintre ele se află pe aceeași linie. Orice două puncte conectate printr-un segment. Aceste segmente avansat 190. Cât de multe puncte în avion?

Sarcina 9. Turneul de fotbal a jucat 240 de meciuri, cu fiecare echipă jucând toate celelalte în domeniul său și unul străin la un moment dat. Câte echipe de fotbal au participat la turneu?

Sarcina 10. La sfârșitul Regatta toate echipajele schimbate cu altele fanioane comemorative. Câte echipaje au luat parte la concurs, în cazul în care a fost găsit numărul de pandantive pentru a fi 506?

Sarcina 11. odnokrugovom turneu de șah a fost jucat 105 partide. Cât de mulți oameni au participat la concurs?

„Asistentul tău“ Categorie

Pentru instrucțiuni 1. Răspunsuri la exerciții orale.

1. a) x (x - 3) = 70. Numărul necesar de 10 și 7, și -7 sau -10;

b) X (x + 3) = 10 catete triunghi. 05 februarie cm Studenții pot oferi rădăcini ghici ecuații compuse.

2. a) 2 x - (x - 9) 2 = 279, unde x - creșterea numărului;

Obiectivul tau: sa cunoasca teorema Vieta pentru ecuația de gradul doi și să fie capabil să-l aplice pentru a rezolva diverse probleme.

Pentru ecuația pătratică Vieta teorema este formulată după cum urmează.

Teorema 1. Dacă o ecuație pătratică are rădăcini reale. atunci suma lor este egală, iar produsul este.

Teorema 1. Suma rădăcinilor unei ecuații pătratice este redusă la al doilea factor, luat cu semnul opus, iar produsul lor este egală cu termenul constant.

În special, suma rădăcinilor unei ecuații pătratice este redusă la al doilea factor, luat cu semnul opus, iar produsul lor este egală cu termenul constant.

Teorema 2. Dacă chislaitakovy că suma lor este. și produsul. aceste numere sunt rădăcinile ecuației.

În special, în cazul în care. numerele și sunt rădăcinile ecuației pătratice de mai sus.

După cum sa menționat deja, folosind teorema teoremei inversa a Vieta, puteți găsi rădăcinile unei ecuații pătratice dat de selecție.

În cazul în care sunt date rădăcinile unei ecuații pătratice, puteți face și ecuația în sine, folosind teorema, invers Vieta teorema. Luați în considerare următorul exemplu.

Exemplul 1: Scrieți ecuația de gradul doi ale cărui rădăcini sunt egale.

Decizie. Găsiți suma și produsul din rădăcini :. ecuația Căutând.

Exemplul 2. formează ecuația de gradul doi ale cărui rădăcini sunt egale.

Decizie. Găsiți suma și produsul din rădăcini :. ecuația Căutând. sau.

Sarcina 1. Ia o foaie curată de hârtie și pe ea scrie în jos răspunsurile la aceste exerciții orale de mai jos.

Verificați dacă răspunsurile cu răspunsurile sau instrucțiunile de scurte plasate la capătul elementului de formare sub titlul „Asistentul tău.“

1. Fără rezolvarea ecuației, introduceți suma și produsul din rădăcinile ecuației. Pick up rădăcinile ecuației:

2. Marca dată ecuația de gradul doi, cunoscând rădăcinile sale:

a) 2 și 7; b) 3 și -7; a) -10 și -30; g) 0 și 7.

3. Faceți o ecuație pătratică având: a) două rădăcini pozitive; b) două rădăcini negative.

4. În ce stare este cel puțin una dintre rădăcinile ecuației ax 2 + bx + c = 0 este egal cu 0?

5. La ce valoare egalitatea și o identitate:

6. Știind că această ecuație este o identitate, localiza și apoi k:

7. De ce este o ecuație pătratică cu coeficienți raționale nu poate avea o rădăcină rațională, iar celălalt - irațional?

8. Fără rezolvarea ecuației x 2 - 2x - 1 = 0, se determină dacă numărul 1 - rădăcină.

9. De ce primesc o ecuație pătratică cu coeficienți iraționale nu pot avea două rădăcini raționale?

10. Rădăcina ecuației pătratice cu coeficienți raționali:

Specificați doua rădăcină și ecuația corespunzătoare.

11. Rădăcinile ecuației x 2 - 7x = 0 x 2 - 2x - 24 = 0,
x 2 - 12x + 36 = 0, x 2 - 2x + 24 = 0, x 2 - 7x - 14 = 0 au proprietatea:

a) suma rădăcinilor este egal cu 7, iar produsul este rădăcinile - 14;

b) unul dintre rădăcinile este egal cu 7;

12. Se determină coeficienții care lipsesc în următoarele ecuații pătratice:

Cu anumite tipuri de următoarele sarcini pe care le puteți întâlni pe lecțiile de matematică. Auto-determinare, care dintre următoarele sarcini trebuie să efectuați. În caz de dificultate, consultați secțiunea „Asistentul tău“, sfatul unui profesor sau un prieten pentru ajutor.

Sarcina 2. Să se rezolve ecuația și să facă o confirmare a teoremei, teorema inversă a Vieta:

Sarcina 3. Găsiți selectarea rădăcinile ecuației:

Sarcina ecuația 4. Do poate. unde p și q - rațională numere au rădăcini:

Sarcina 5. De ce este o ecuație pătratică cu coeficienți raționale nu poate avea o rădăcină rațională, iar cealaltă irațional?

Sarcina 6. Faceti o ecuație pătratică are rădăcinile următoarele numere:

a) 3 și 1,5; b) - 0,2 și - 0,2; c) + 2 - 2; g); d) i.

Sarcina 7. Faceți o ecuație pătratică cu coeficienți raționali, dintre care unul rădăcină este:

Sarcina 8. Faceti o ecuație de gradul doi ale cărui rădăcini sunt numerele inverse și și.

Sarcina 9. Faceti o ecuație de gradul doi care are o rădăcină.

Sarcina 10. Faceți o ecuație pătratică, rădăcinile care au cel puțin 2 rădăcini.

Sarcina 11. Fără rezolvarea ecuației, găsim: a); b); c) (i - rădăcinile ecuației).

Sarcina 12. Nu a găsi rădăcinile ecuației. calculează:

(U - rădăcini de ecuații originale).

Sarcina 13. Fără rezolvarea ecuației. specificați. unde - rădăcinile ecuației originale.

Sarcina 14. Fără rezolvarea ecuației. Găsiți: a); b). unde - rădăcinile acestei ecuații.

Sarcina 15. Fără rezolvarea ecuației. găsi. unde - rădăcinile acestei ecuații.

Sarcina 16. Gaseste toate valorile unei. pentru care rădăcinile pătrate ale diferenței este egal cu 1.

Sarcina 17. Găsiți relația dintre coeficienții ecuației. în cazul în care suma cuburilor de rădăcinile sale este produsul pătratelor acestor rădăcini.

Sarcina 18. În fiecare ecuație a localiza p sau q, folosind condițiile suplimentare:

Sarcina 19. Ecuația ridica valoarea lui k asa.

Sarcina 20. La ce valoare q rădăcini pătrate de diferența este egală cu 16?

Sarcina 21. Ce ar trebui să fie p și q, ecuația are o rădăcină de p și q?

Sarcina 2 2. Găsiți ecuația k, în cazul în care

1. a) 1, 12; b) -1, 2; c) 2, 5; g) -2, 5.

8. Dacă 1 - - rădăcina ecuației și + 1 este, de asemenea, o rădăcină. Însumând o ecuație pătratică pentru rădăcinile sale, avem x 2 - 2x - 1 = 0, ceea ce arată că
1 - - rădăcina acestei ecuații.

12. a) In acest caz, argumentul poate fi construit după cum urmează: „Dacă se dă ecuația, atunci suma rădăcinilor sale este egal cu al doilea coeficient, luat cu semnul opus; x 2 - 6x + ... = 0 - deasupra ecuației, deci x1 + x2 = 6. Din faptul că x1 + x2 = x1 = 6 și 2 rezultă că
4. Dacă x2 = x1 = x2 = 2 și 4 - rădăcinile ecuației de mai sus, deci q = 2 x 4 = 8. Astfel, ecuația este de forma
x 2 - 6x + 8 = 0.