Trei semne de triunghiuri similare

Teorema 1. Două triunghiuri sunt similare în cazul în care cele două unghiuri ale unui triunghi sunt egale cu două unghiuri de alta.

Să presupunem că în triunghiurile ABC și A'B'C ∠A = ∠A „∠V = ∠B“ (în aceste triunghiuri, respectiv nodurile unghiuri egale adesea notate cu aceleași litere).

Demonstrati ca \ (\ Delta \) ABC \ (\ sim \) \ (\ Delta \) A'B'C (Fig. 367).

În primul rând, observăm că egalitatea dintre cele două unghiuri ale datelor triunghiuri că al treilea și unghiurile acestea sunt egale, deci. E. ∠C = ∠S“.

Amînarea din vertex V, de exemplu, pe partea AB ABC triunghi segmentul BM egal cu A'b segmentului“. Din punctul M trage linia MN || AU. Avem o \ (\ Delta \) MBN, care este similar cu \ (\ Delta \) ABC. Dar \ (\ Delta \) MBN = \ (\ Delta \) A'B'C 'ca ∠V = ∠V' prin ipoteză; lateral MB = A'b „de construcție; ∠BMN = ∠A '(∠BMN și ∠A' sunt în mod individual aceeași ∠A).

Dacă \ (\ Delta \) MBN \ (\ sim \) \ (\ Delta \) AVS, la \ (\ Delta \) A'B'C „\ (\ sim \) \ (\ Delta \) ABC. Această teoremă exprimă primul semn de similitudine de triunghiuri.

Investigații. 1. triunghiuri echilaterale sunt similare.

2. triunghiuri isoscele sunt similare în cazul în care acestea sunt pe un unghi egal în partea superioară sau inferioară.

3. Două triunghiuri unghi drept sunt similare, dacă ea are un unghi ascuțit egal.

4. isoscel dreapta triunghiuri sunt similare.

Teorema 2. Două triunghiuri sunt similare în cazul în care cele două laturi ale unui triunghi sunt proporționale cu cele două laturi ale unui alt triunghi și unghiurile care se află între ele sunt egale.

Să triunghiul ABC și A'B'C '\ (\ Frac = \ frac \) și ∠V = ∠V'

Trebuie să dovedim că \ (\ Delta \) ABC \ (\ sim \) \ (\ Delta \) A'B'C „(fig. 368).

Pentru a dovedi amânată, de exemplu, pe partea AB ABC triunghiul din vârful în segmentul BM egal cu A'b segmentului“. Prin punctul M trage linia MN || AU. Rezultat Triunghiul MBN similar cu triunghiul ABC.

Vom dovedi că \ (\ Delta \) MBN = \ (\ Delta \) A'B'C“. În aceste triunghiuri ∠V = ∠V 'prin ipoteză, MB = A'b' prin construcție. Pentru a asigura egalitatea părților și BN B'C, compune proporția AB / MB = BC / BN (rezultă din AC paralel și MN) și se compară cu proporția de care este dat în teorema: \ (\ Frac = \ frac \) . Proporțiile acestor doi are trei membri egali, de aceea, sunt al patrulea și membrii acestora,

t. e. B'C „= BN. Acest lucru implică faptul că triunghiuri și MBN A'B'C“.

Deoarece \ (\ Delta \) MBN \ (\ sim \) \ (\ Delta \) A'B'C 'apoi, în consecință, \ (\ Delta \) A'B'C' \ (\ sim \ ) \ (\ Delta \) ABC.

Această teoremă exprimă două semn de similitudine de triunghiuri.

Corolar. triunghiurile sunt similare în cazul în care picioarele unuia dintre ei proporțional cu un picior de altul.

Teorema 3. Două triunghiuri sunt similare în cazul în care cele trei laturi ale unui triunghi sunt proporționale cu cele trei laturi ale unui alt triunghi.

Lăsați triunghiul ABC și A'B'C „\ (\ frac = \ frac = \ frac \) (Fig. 369).

Trebuie să dovedim că \ (\ Delta \) ABC \ (\ sim \) \ (\ Delta \) A'B'C '

Pentru a dovedi amâna pe partea AB a triunghiului ABC din segmentul de vârf B BM = „B“. Din punctul M trage linia MN || AU. Rezultat Triunghiul MBN similar cu triunghiul ABC. Prin urmare, \ (\ frac = \ frac = \ frac \).

Vom dovedi că \ (\ Delta \) MBN = \ (\ Delta \) A'B'C“. Pentru a dovedi compara două proporții

\ (\ Frac = \ frac \) și \ (\ frac = \ frac \).
În aceste proporții are trei membri egali, de aceea, sunt al patrulea și membrii acestora, adică BN = B'C.

Să comparăm două mai mult proporție: \ (\ Frac = \ frac \) și \ (\ Frac = \ frac \). Aceste proporții are, de asemenea, trei membri egali, de aceea, sunt membri egali ai lor și a patra, așa mai departe. E. MN = A'C“.

Sa dovedit că cele trei partide \ (\ Delta \) BMN trei laturi \ (\ Delta \) A'B'C“, și anume:

MB = A'b 'BN = B'C și MN = A'C'.

Prin urmare, \ (\ Delta \) MBN = \ (\ Delta \) A'B'C 'și \ (\ Delta \) ABC \ (\ sim \) \ (\ Delta \) A'B'C'.

Această teoremă exprimă al treilea semn al similitudinii triunghiuri.