transformări liniare

1. Definiție și axiomele de bază ale unui spațiu liniar. Proprietățile spațiilor liniare. Baza. Matricea de tranziție în diferite baze.

Linear (vector) spațiu.

După cum se știe, operații liniare (adunare, scădere, înmulțire cu un număr) determinat în propria sa pentru fiecare set (numărul de polinoame direcționate matrice segmente). Operațiunile în sine sunt diferite, dar proprietățile lor sunt aceleași.

Această generalitate de proprietăți ne permite de a generaliza conceptul de operații liniare pentru toate seturile, indiferent de ceea ce setul (număr, matrice etc.).

Pentru a defini spațiul liniar (vector), ia în considerare un set de elemente valide L, pentru care operațiile de adunare și înmulțire cu un număr.

Aceste operațiuni au următoarele proprietăți:

3) Există un vector zero. că + = pentru " Î L

4) " Î L există un vector = -. astfel încât + =

7) Legea de distribuție (a + b) = a + b

8) a (+) = a + a

Definiție: set L este denumit (vector) spațiu liniar, iar elementele sale se numesc vectori.

Este important să nu se confunde conceptul de vector dat mai sus cu conceptul de vector cum direcțională a segmentului în planul sau în spațiu. segmente dirijate sunt doar un caz special al elementelor liniare (vector) spațiu. Linear (vector) spațiu - un concept mai larg. Exemple de astfel de spații sunt setul de numere reale, setul de vectori pe un plan în spațiu, matrice etc.

În cazul în care numărul de operații de adunare și înmulțire sunt definite pentru elemente reale, liniar (vector) spațiul este un spațiu real în cazul în care elementele de complex - un spațiu complex.

Proprietățile spațiilor liniare.

1) Fiecare spațiu liniar există doar un singur element de la zero.

2) există doar un singur contor pentru fiecare membru celulă.

3) Pentru fiecare Î L 0 x = true 0

4) Pentru fiecare un Î și R Î L a × = true

5) Dacă un x =. apoi a = 0 sau =

1. transformări liniare. Matricea de conversie liniară.

Definiție: Presupunem că spațiul L liniar este setat la o transformare liniară, în cazul în care orice element Î L în conformitate cu o anumită regulă este asociat elementul A Î L.

Definiție: Transformarea A se numește liniar. dacă pentru orice vectori Î L și Î L și fiecare un drept:

Definiție: O transformare liniară se numește identitatea. în cazul în care convertește un spațiu element liniar la sine.

Exemplu. Aceasta este o transformare liniară. = A +; ¹ 0.

Scriem de transformare A la orice element. = A +

Se verifică dacă o regulă se efectuează operația plus pentru această transformare A (+) = +; A () + A () = + + +. acest lucru este valabil numai pentru k = 0; O neliniară această transformare.

Definiție: Dacă spațiul L sunt vectori ai unei transformări liniare. celălalt vector este o combinație liniară a vectorilor.

Definiție: Dacă numai dacă a = b = ... = l = 0, atunci vectorii sunt numite liniar independente.

Definiție: Dacă spațiul liniar L este n vectori liniar independenți, dar orice n + 1 vectori sunt liniar dependente, atunci spațiul L se numește n-dimensional. un set de vectori liniar independenți se numește o bază a spațiului liniar L.

Corolar: Orice spațiu vectorial liniar poate fi reprezentat ca o combinație liniară de vectori de bază.

Linear matrice de transformare.

Să presupunem că în spațiul vectorial n- dimensional cu baza. , ..., set A. Apoi, o transformare liniară vectori A, A, ..., A - ca vectori ai acestui spațiu și poate fi reprezentat ca o combinație liniară de vectori de bază:

Apoi, matricea se numește matricea A = O transformare liniară.

Dacă spațiul L pentru a lua vectorul = x1 + x2 + ... + xn. atunci A Î L.