teorema sine

Dovada teoremei sinusului normal

Noi folosim doar determinarea înălțimii h b> triunghi, coborâtă pe partea b. Sinus și pentru două unghiuri:

h b = un păcat ⁡ γ = c păcatul ⁡ α = un \ păcat \ gamma = c \ păcatul \ alpha>. Prin urmare, un păcat ⁡ α = c păcat ⁡ γ> = >>. QED. Repetând același raționament pentru celelalte două laturi ale triunghiului, obținem versiunea finală a unui convențional (neoptimizate) din teorema lui sinus.

Dovada teoremei lui sinus extins

Este suficient pentru a dovedi că

Egal cu diametrul | B G | pentru cercul circumscris. Prin proprietate unghiuri înscrise într-un cerc, unghiul G C linia B și unghiul C G B este fie α. dacă punctele A și G sunt pe aceeași parte a liniei B C. sau π - a altfel. Deoarece păcatul ⁡ (π - α) = sin ⁡ α. În ambele cazuri, obținem

Repetând același raționament pentru celelalte două laturi ale triunghiului, obținem:

Variații și generalizări

În triunghi unghiul este mai mare față de un partid mare împotriva latura mai mare este mai mare unghi.

• În primul capitol al Almagest (aproximativ 140 ani iH. E.) Teorema Sinus este folosit, dar nu explicit formulată în [1].
• Cea mai veche dovadă existentă teorema sine în planul este descris în cartea lui Nasir al-Din al-Tusi „Treatise pe chetyrohstoronnike plin“, scrisă în secolul al XIII-lea. [2]
• Teorema sinus pentru triunghi sferic a fost demonstrat de matematicieni din Est medievală în secolul X. [3] În lucrarea sa din secolul al XI-Al-Dzhayyani „Carte de arce necunoscute sferă“ este o dovadă generală a teoremei Sines în domeniu [4].