Știința Rețeaua șiun curs de prelegeri pe algebra liniara

Să - spațiu liniar. În același timp, este adesea considerat spațiu mai strâns asociat, așa-numitul spațiu dublu. Pentru a formula definiția spațiului dublu, înapoi la conceptul de o funcție liniară, am introdus în Sec. 1 §4.

funcție liniară noi numim o funcție, care îndeplinește condițiile:

Să - o bază în spațiul n-dimensional. dacă

-- vector de la, funcția liniară poate fi scris ca (a se vedea. §4)

unde coeficienții care definesc o funcție liniară calculată prin formulele

După cum reiese din formula (1) la o anumită bază fiecare număr corespunde unei funcții liniare, atunci numai unul.

Să - funcții liniare. suma lor este o funcție care atribuie fiecărui număr de vector. Produsul de o funcție liniară a numărului este o funcție care atribuie fiecărui număr vector.

Este evident că suma funcțiilor liniare și funcții liniare funcționează pe numere este din nou o funcție liniară. În acest caz, dacă funcția liniară este definită prin numere și - numere, apoi specificați numărul de ,,, și - numere.

Astfel, o multitudine de forme predeterminate o funcție liniară în spațiu liniar.

Definiție 23.1 Să spațiu acolo dimensional. Spațiu conjugat, noi numim un spațiu liniar, vectorii care sunt funcții liniare definite în. Suma stabilită ca o sumă de funcții liniare și produsul vectorial al numărului - produsul numărului de funcții liniare.

Deoarece pentru o anumită bază în spațiul fiecărei funcții liniare este determinată în mod unic prin numerele de sistem, suma funcțiilor corespunde cu suma numerelor, funcțiile produsului de către numerele de produs de pe, este clar că izomorfe, în care vectorul este definit ca o colecție de numere.

Prin urmare, spațiul dual al spațiului n-dimensional este de asemenea dimensional.

Dacă spațiul și luând în considerare, în același timp, vectorii se numesc contravariant. și vectorii din covariantă. Ulterior, simbolurile vor desemna elemente, și anume vectori contravariant și - elemente, adică vectori covarianță.

În viitor, vom fi valoarea funcției liniare la punctul denote. Astfel, fiecare pereche și numărul aferent, în care

Primul și al doilea dintre aceste relații - se înregistrează în noua egalitate notație

Aceasta este definiția unei funcții liniare, iar a treia și a patra - determinarea produsului unei funcții liniare pe numărul și cantitatea de funcții liniare. Valoare 1 -4 se aseamănă în aparență axiome 2 și 3, produsul scalar (§2). Este necesar să se sublinieze faptul că în timp ce produsul scalar este un număr, numit pereche de vectori ai aceluiași spațiu (Euclidian), există un număr, numit pereche de vectori, unul dintre care aparține unui spațiu afin, iar celălalt - un spațiu afin.

Vectorii și noi numim ortogonale. dacă

Astfel, deși într-un spațiu afin (spre deosebire de Euclidian) nu are nici un concept de ortogonalitatea a doi vectori, se poate vorbi de vectori ortogonali de vectori din.

Definiție 23.2 Să - o bază în, și - în bază. Noi numim aceste baze biorthogonal (reciprocă). dacă