Sistemul ortogonală de funcții - acesta

Sistemul ortogonală funcții

Funcțiile sistemului n (x)>, n = 1, 2, ortogonale la greutatea care p (x) în intervalul [a. b], m. e., astfel încât

Exemple. Sistemul trigonometrice 1, cosnx. nx păcat; n = 1, 2. - O. c. f. cu greutate 1 pe intervalul [-π, π]. Funcții Bessel - 1/2 O c. f. x cu o greutate în intervalul [0, l].

Dacă fiecare φ funcția (x) O. c. f. este că

Studiul sistematic al O. c. f. Acesta a fost lansat în legătură cu metoda Fourier de rezolvare a problemelor la limita fizicii matematice. Această metodă conduce, de exemplu, pentru găsirea unor soluții probleme Sturm - Liouville (vezi Sturm. - problema Liouville) pentru ecuația [ρ (x) y ']' + q (x) y = λu. care îndeplinește condițiile la limită y (a) + hy '(a) = 0, y (b) + Hy' (b) = 0, unde H și h - constantă. Aceste soluții -. Sc. funcții proprii ale problemei - pentru a forma O .. f. cu greutate care p (x) în intervalul [a. b].

O clasă extrem de important al O. c. f. - polinoame ortogonale - deschis P. L. Cebîșev lea în studiile sale privind metoda de interpolare a celor mai mici pătrate, și problema momentelor. În secolul al 20-lea. studii privind O. c. f. efectuate în principal, pe baza teoriei integrale și măsura Lebesgue. Acest lucru a contribuit la alocarea acestor studii, o ramură independentă a matematicii. Una dintre principalele probleme ale teoriei cu OA. problema F.- expansiunii funcției f (x), în seria formularului

Coeficienții Cn. numite coeficienți Fourier în raport cu sistemul n (x)>, au următoarea proprietate extremă: formă liniară

Ea are cea mai mică valoare comparativ cu eroarea fiind dat în aceleași n alte expresii liniare ale formei

Mai multe Σ ∞ n = 1Cn φn (x) ale căror coeficienți Cn. calculat prin formula (*) se numește seria Fourier a lui f (x) normalizate prin O. c. f. n (x)>. Pentru aplicații este întrebarea primordială se determină dacă funcția unică f (x), prin coeficienții Fourier. O. s. f. la care se întâmplă acest lucru se numește complet, sau închise. Condiții de închidere cu OA. f. Acesta poate fi administrat în mai multe forme echivalente. 1) Orice funcție continuă f (x) poate fi la orice grad de precizie medie aproximată prin combinații liniare de funcții φk (x), adică ∞ n = 1Cn φn (x) converge în medie la funcția f (x)]. 2) Pentru orice funcție f (x), a cărui pătrat integrabilă în raport cu greutatea p (x), condiția este închisă Lyapunov - Steklov:

3) Există o funcție nenul integrabilă pe intervalul [a. b] pătrat ortogonală toate funcțiile, n = 1, 2, φn (x).

Dacă luăm în considerare funcția integrabile pătrat ca elemente ale unui spațiu Hilbert (A se vedea. Spațiu Hilbert), apoi normalizată cu OA. f. va coordona sistemele de vectori de bază ale acestui spațiu, precum și extinderea numărului de normalizată O. s. f. - extinderea vectorului vectorilor de bază. În această abordare, multe dintre conceptele teoriei normate O. s. f. devin semnificație geometrică clară. De exemplu, formula (*) indică faptul că vectorul proiecție pe versorul este egal cu vectorul produsului interior și versorul; ecuatia Lyapunov - Steklov poate fi interpretat ca teorema lui Pitagora pentru spațiu infinit: patratul lungimii vectorului este suma pătratelor proiecțiile pe axele; Izolarea O. cu. f. înseamnă că cea mai mică subspațiul închisă care conține toți vectorii acestui sistem, întregul spațiu etc.

Lit:. Tolstov GP serie Fourier, 2nd ed. M. 1960; Natanson I. P. Teoria constructivă a funcțiilor, M. - L. 1949; ei aceeași teorie a funcțiilor unei variabile reale, 2nd ed. M. 1957; seria D. Jackson Fourier și polinoame ortogonale, trans. din limba engleză. M. 1948 Kaczmarz S. Steinhaus, teoria seriilor ortogonale, trans. cu ea. M. 1958.

Marii Enciclopedii Sovietice. - M. sovietic Enciclopedia. 1969-1978.

Vezi ce „sistemul ortogonală de funcții“ în alte dicționare:

FUNCȚIILE SISTEMULUI ortogonal - (otgrech dreptunghiular orthogonios.) Sistem f țiilor finite sau numărabile. apartenență (cablare separabil) la un L2 Hilbert spațiu (a, b) (pătrat integrabile ții f) și F TION satisfăcătoare g (x) este numit. greutate O. s. f., * este ... ... enciclopedie fizică

Sistemul ortogonală de funcții - funcții de sistem. n (x). n = 1, 2, definit pe ortogonale interval de transformare transformare liniară a spațiului vector, păstrează neschimbate sau lungime (care este echivalent cu acesta) produsul scalar al vectorilor ... Dicționar Large Enciclopedică

sistem ortogonal funcție - funcții de sistem, n = 1, 2, definită pe intervalul [a, b] și să satisfacă următoarea condiție ortogonalitate: dacă k ≠ l, unde ρ (x) este o funcție, numită greutate. De exemplu, sistemul trigonometric 1, sin x, cos x, 2x sin, ... ... Collegiate dicționar

FUNCȚIILE SISTEMULUI ortogonal - sistem ții f, n = 1, 2, definită pe intervalul [a, b] satisface următoarele, ortogonalitatea când k nu este egal cu l, unde p (x) f o anumită TION paradis se numește. greutate. Ex. trigonometrice. System 1, sin x, cosh, păcatul 2, cos 2x. O.s.f. cu greutatea ... ... natural. Dicționar Collegiate

Complete funcțiile sistemului - funcții astfel de sistem F = definit pe intervalul [a, b], că nu există nici o funcție f (x), pentru care x) F, adică, pentru care, pentru orice φ funcția (x) de .. F (integrale sunt Lebesgue vezi. integrală) ... Encyclopedia sovietic Great

System - sistem 4,48 (sistem): O combinație de elemente aranjate pentru a atinge unul sau mai multe obiective care interacționează. Nota 1 Sistemul poate fi privit ca produsul sau serviciile pe care le oferă. NOTA 2 În practică ... ... Dicționar de termeni documentației normative și tehnice

Sistemul ortonormală - 1) A. a. o multitudine de vectori nenuli vectorilor euclidiene (Hilbert) spațiu cu produsul interior (.), astfel încât în ​​(ortogonalitate) și (normalizability). M. I. Voytsehovsky. 2) G. p. ^ Y n pentru a funcțiilor n și spațiu și de sistem ... ... Enciclopedia de Matematică

FUNCȚIILE SISTEMULUI Ortogonalizarea - pentru un sistem de construcție dat de funcții cu pătrat integrabilă pe [a, b] din funcțiile ortogonale ale sistemului prin aplicarea unui anumit proces ortogonalizarea cerned sau prin continuarea fn (x) funcții .Pe mai ... ... matematică Enciclopedia