sistem de vector Locul „Algebra liniara

p.2. sistem de vector Rank.

Fie V - spațiu vectorial peste K, - un sistem arbitrar de vectori în V.

Definiția. Orice subgrup nevida a setului de vectori este numit un subsistem al sistemului.

Exemplu. Având în vedere un sistem de vectori. Apoi - un subsistem al sistemului. Sistemul în sine este, de asemenea, un subsistem în sine.

Definiția. Subsistemul numit maximal liniar independent subsistem al acestui sistem vector, dacă este liniar independent și adăugarea la acesta orice vector al acestui sistem devine dependent liniar.

Definiția. Rangul unui sistem de vectori este numărul de vectori în maxim subsistemul său liniar independente.

Rețineți că, dacă sistemul de vectori conține cel puțin un vector nenul, atunci rangul său este mai mare sau egal cu 1.

În cele ce urmează vom presupune că sistemul vector cuprinde un vector nenul.

Următoarea teoremă arată că gradul de sistem este invariantă său, adică, Este independent de maxim subsistemului liniar independent al sistemului vector.

Teorema. (Pe sistemul vectorial de rang.) Poziția vectorilor de dimensiune egală cu intervalul linear de la vectorii săi, adică

Dovada. Pentru comoditate notație enumerăm vectorii din sistem, astfel încât sistemul are subsistemului maxim liniar independent de sistemul de vectori. Apoi.

Luați în considerare două cazuri.

1), adică Acest sistem este liniar vectori independenți. Apoi, ea este maximă de subsistem liniar independent și rangul său este egal cu m. Luați în considerare o perioadă liniară a vectorilor acestui sistem:

Sistemul vectorilor pentru a determina un înveliș liniar este sistemul său de generare și presupunerea noastră este liniar independent. Prin urmare, sistemul este baza span L liniare, și de aceea este egală cu m dimensiunea și ecuația (4) este stabilită.

2). Apoi, sistemul de vectori este liniar dependent pentru toate valorile indicelui, din care rezultă că combinația vector liniară a vectorilor precedente ale acestui sistem, și anume, . Rezultă că

n ca incluziune inversă este evident,

Corolar. vectori rangului sistemul este invariantă său, adică, Aceasta depinde de alegerea maximă a subsistemului său liniar independent.

Dovada. Să presupunem că un sistem arbitrar de vectori și, - două dintre maxime sale arbitrare liniar subsistem independent. Apoi, prin teorema,

Notă. Din ultima teorema că baza deschiderii liniare a sistemului de vectori este un maxim liniar independent subsistem al sistemului de vectori. Într-adevăr, maximal a găsit subsistem liniar independent este liniar independent și numărul de vectori în dimensiune liniară este egală cu cochilie, adică este baza duratei liniare.