Și vectorii proprii autovalorile o matrice pătratică - studopediya

Un număr mare de probleme științifice și tehnice, precum și unele în domeniul de studii computațională matematică necesită identificarea valorilor si vectorilor proprii de matrici.

Vectorul x = (x1, x2 ... xn) Î E n este numita matrice eigenvector A = (aij) nn, în cazul în care numărul l suschestvuettakoe Î R, care este ecuația:

Numărul l se numește valoare proprie a matricei A.

Deoarece multiplicarea vectorilor proprii cu un scalar este un vector propriu de aceeași matrice, poate fi normalizat. În special, fiecare coordonată a vectorului poate fi împărțită în maximum ele, sau pe lungimea vectorului. În acest din urmă caz, rotiți unitatea de vectorul propriu.

Din matricea caracteristică a matricei A este o matrice de forma:

unde E - matricea identitate.

Este ușor de văzut că (1) poate fi scris ca:

Dacă te duci la un vector de coordonate formă de înregistrare x.

Sisteme (3) și (4) sunt sistem omogen de ecuații n c n necunoscute liniare. Ea are o soluție nontrivial numai dacă determinantul său este zero.

Determinantul matricei C este un polinom de gradul n ceea ce privește rezistența # 955;

Se numește polinomul caracteristic. Rădăcinile acestui polinom sunt autovalorile matricei A.

Pentru a găsi vectorii proprii necesare pentru a rezolva sistemul de ecuații algebrice liniare a căror soluție nu este unic. Știm din algebra liniară, că, în acest caz, soluția generală are următoarea structură: una sau mai multe necunoscut numit liber, poate lua orice valoare, exprimată prin disponibilitatea generală necunoscută. Numărul necunoscutelor liber egal cu numărul de ecuații care rezultă din ecuațiile rămase, adică,

unde m - numărul de necunoscute libere; n - dimensionalitatii sistemului.

În practică, în cazul în care o singură necunoscută liber (care este adesea cazul), se presupune a fi un număr, de exemplu 1. După aceea, restul sunt necunoscute (componente vectoriale) care sunt determinate în mod unic. Această procedură nu afectează rezultatul de rezolvare a problemei, așa cum a fost deja menționat faptul că vectorii proprii sunt corecte la un factor constant.

Exemplu. Se calculează vectori și valori proprii ale lui A.

Decizie. Noi forma polinomul caracteristic:

Noi găsim rădăcinile acestui polinom:

Pentru a găsi valorile proprii și. corespunzătoare l1 și l2 valori proprii. Am creat un sistem de ecuații pentru fiecare dintre ele:

sau sub formă de componente:

Menționăm că ecuațiile sunt liniar dependente. Prin urmare, vom lăsa doar una dintre ele. Din prima ecuație rezultă că x2 = - x1. x1 Necunoscut pot fi considerate libere. Presupunem x1 = 1, atunci x2 = - 1, iar vectorul propriu corespunzător l1 eigenvalue = 2, este = (1, -1) sau = l1 - l2. unde l1. l2 - versorii sistemului gazdă selectată.

În mod similar vom găsi doua znacheniyul2 vectorul propriu proprii corespunzătoare = 5

vector este normalizat și normalizarea vectorului. împărțind componentele sale pentru cele mai multe dintre ele. obținem:

Acesta poate provoca, de asemenea, vectori la unitatea de lungime, separarea componentelor pe valorile modulelor vectori:

Am considerat cel mai simplu exemplu de calcul al vectorilor pentru o matrice Valori proprii de ordinul 2. De asemenea, este ușor de a aduce o astfel de matrice de decizie de comandă a treia și pentru unele ocazii foarte speciale.

În cazul general, în special pentru matrice de mare ordine, sarcina de a găsi și a vectorilor proprii lor valori proprii, numita problemă eigenvalue completă sunt mult mai complicate.

La prima vedere poate părea că problema se reduce la calcularea rădăcinilor polinomului (6). Cu toate acestea, această sarcină este complicată de faptul că printre valorile proprii multipli frecvente. Și, în plus, pentru orice matrice de coeficienți nu este ușor de calculat polinomul caracteristic.