Secvențele monotone

1. Determinarea secvenței n> numita secvență non-creștere (non-descreștere) în cazul în care fiecare termen ulterioară a acestei secvențe nu este mai mare (cel puțin), cea anterioară, adică în cazul în care „nÎN inegalității xn ³ xn +1 (xn £ xn +1). Astfel de secvențe sunt numite secvențe monotone.

2. Determinarea dacă pentru toate numerele n elemente ale secvenței n> satisface xn> xn +1 (xn

Notă. Rețineți că secvența non-descreștere și non-crescând mărginită deasupra și dedesubt, respectiv, primele lor elemente. Prin urmare, un (non-creștere) secvență non-descreștere va fi mărginită pe ambele părți în cazul în care este mărginit de mai sus (mai jos).

Vom introduce următoarea notație:

ù- n> - o secvență care nu există în creștere de n>,

ù¯ n> - o secvență non-descrescătoare a n>,

- n> - posledovatelnostn ​​în creștere>

¯ n> - scăderea secvenței de n>.

EXEMPLUL 1 Secvența = 1,1,2,2. n, n. nondecreasing monotonă. Mai jos este limitată la primul element - „1“, iar partea de sus nu este restricționat.

Exemplul 2. Secvența crescătoare. Această secvență este delimitată de mai jos primul lor element de. și de sus. de exemplu, unitatea sa predelom-, adică, această secvență este mărginită.

Acum vom demonstra teorema principală privind convergența unei secvențe monotonă.

Teorema. Dacă o secvență non-descreștere (fără creștere) este delimitată de mai sus (mai jos), apoi converge.

În virtutea observațiilor făcute mai sus, fără scădere (fără creștere) și mărginită de mai sus (mai jos), secvența este mărginită pe ambele părți. Prin urmare, ultima teorema poate fi declarat după cum urmează:

Observația 1. Condiția mărginită de secvență este o condiție monotonă necesară și suficientă pentru convergența acesteia.

De fapt, în cazul în care secvența este delimitată monotonă, converge în vigoare a teoremei de mai sus.

Dacă secvența este monotonă (și, în general, orice secvență) converge, este limitată (vezi. Teorema 2).

Notă 2. Dacă secvența converge, atunci nu poate fi monotonă. Astfel, secvența converge și are o limită de „0“. Cu toate acestea, această secvență nu este monotonă, deoarece semne ale elementelor acestei secvențe alternează.

Luați în considerare exemplul unei secvențe pentru o constatare care se utilizează teorema limită de mai sus (Sec. 2.7.) A secvenței monotonă limită.

Să o secvență. și anume fiecare element al acestei secvențe. Vom arăta că această secvență este în creștere și mărginită de mai sus.

Folosind formula binomului lui Newton