secvență infinitezimală

5.5. secvență infinitezimală

Deasupra secvențelor numerice pot fi efectuate operații aritmetice. Noi le definim.
Definiție 6. Să xn> și yn> - secvență numerică. Apoi xn secvență număr + yn> le-a numit summoyxn> + , xn - yn> - raznostyuxn lor> - , xnyn> - proizvedeniemxn lor>, și în cazul în care pentru toate numerele n inegalitatea YN 0, atunci secvența se numește baza de date de secvență privată. Dacă - un număr real, apoi proizvedeniemxn> posledovatelnostixn numeric> numărul este o secvență . Astfel, obținem același rezultat ca și înmulțirea cu o secvență fixă <> pe xn secvenței>:

Definiție 1. Secvența numerică a cărei limită este zero, se numește infinitezimal.
Luați în considerare proprietățile infinitezimal.
1 o. Orice combinație finită liniară a infinitezimal este infinitezimal.
Să secvența numerică și infim, adică. e.

și și - orice numere reale. Să ne arată că secvența De asemenea, infim. Luăm un arbitrar> 0 și să ia orice număr astfel încât c

Apoi, în conformitate cu o anumită limită. din (5.30), că există un număr de N0. că, pentru toate numerele n> N0 inegalitățile

și, prin urmare, inegalitatea

Acest lucru înseamnă că

t. e. că secvența infinitezimal. Declarația corespunzătoare pentru orice combinație finită liniară a infinitezimal să fie dovedită prin inducție.
2 o. Lucrare de secvență infinitezimal secvență mărginită este infinitezimal.
lăsa

și xn> - .. o secvență mărginit, adică există c> 0 astfel încât inegalitatea pentru toate camerele N0

Reparăm un arbitrar> 0, atunci, prin definiția limitei condiției (5.33) rezultă că există un număr de N0. că, pentru toate numerele n> N0 inegalitatea