Radicali - enciclopedie matematică - Enciclopedia & Dicționar

inele și algebre - un concept apărut pentru prima dată în teoria clasică a structurii algebra finit la început. 20. Prin R. înțeles inițial cea mai mare nilpotent ideal de algebră asociativă finit-dimensionale. Algebra zero, R. (numită semisimplu) primită în clasic. o descriere completă a teoriei: fiecare semisimplu algebra asociativa finit-dimensională este o sumă directă de algebra matrice simplă asupra organismelor corespunzătoare. Ulterior a fost constatat că există cele mai mari idealuri nilpotente în orice inele asociative algebrele cu condiția minimă pentru partea stângă (sau dreapta) idealuri, t. E. Orice inele artinian și algebre și descrierea artinian semi-inele si algebre coincide cu descrierea semisimplu finit . În același timp, sa constatat că cea mai mare ca nilpotente R. sau idealul solubil, poate fi definit în mai multe clase de nonassociative algebra finit (alternativ, Jordan, Lie și colab.). În acest caz, ca și în cazul asociativ, algebre semisimple sunt sumele directe de simplu Lie cerned-gât un tip special.

Datorită faptului că, în majoritatea cazurilor un nilpotent ideal pentru infinit nu poate exista, există multe generalizare diferită a clasic radical R. Baer, ​​radicalul Jacobson, Levitsky, KOTHE radical, etc. Cele mai frecvente dintre ele -. Radical Jacobson. Ele au fost introduse ca R într-un anumit sens, spre deosebire de clasic. Astfel, de ex. Toate inelele clasic semisimple (de ex. E. Suma directă a inelelor matricei complete) sunt radicale în sensul Neumann radicale regulate și ereditare idempotente radical Blair. F. Construcția de teoria generală a fost inițiată de C. Amitsur [1] și A. G. Kurosha [2].

Teoria totală radicală. Peste tot în ceea ce spun ei doar despre algebra (ne referim la o algebră de peste un inel arbitrar fix asociativ-comutativ cu unitate); inele sunt un caz special de astfel de algebre. Sub ideal, în cazul în care nu se specifică altfel, se referă la un ideal cu două fețe.

Să - clasa de gât-ing de algebre închise în a lua imagini și idealuri homomorphic, adică, conținând toate algebra de oricare dintre ideale sale și orice imagine homomorphic ... Și să r --NEK o multime de proprietate abstract, la ochi algebra poate sau nu să aibă afară. Algebra, r are o proprietate numită. r-g și l b e r o d. Ideal I algebra A este numit. și sa r-d e o o n m dacă este r-algebra. Algebra numit. r-semi dacă nu are nenule r-idealuri. Ei spun că r este o proprietate radicală în clasă sau în grupul specificat (în sensul Kurosh), în cazul în care sunt îndeplinite următoarele condiții:

(A) r homomorphic algebra imagine este r-algebra;

(B) fiecare algebra Aklassa are cea mai mare r ideal, respectiv. E. Ideal conține orice r ideală această algebră, iar acest maxim r-numitul ideal. r-radical atunci această algebra și este notat cu r (A).

(B) câtul A / r (A) r semisimplu.

Algebra coincide cu Robert sa numit. radical. În orice clasă de algebre și pentru toate este singura algebra simultan radical și semisimplu radical. produs Subdirect de orice set de algebră semisimplu sine semisimplu.

Cu fiecare r radical legat de doua subclase algebre: Clasa (r) de clasa radical și-r algebre (r) r-semisimplu. Pentru oricare dintre aceste clase este unic r radical (A) .Pentru fiecare algebra Ayse, și anume:

R-algebră este radical dacă și numai dacă nu poate fi afișat homomorphic la orice algebră-r semisimplu nenul.

Condițiile cunoscute în subclase algebra sunt necesare și suficiente pentru a se asigura că aceste subclase este clasa tuturor radical sau clase de Lie semisimplu pentru RV. Aceste subclase ale algebrei sunt numite subclase, respectiv, radicali și semisimple.

ordonare parțială a claselor radicale pentru includerea induce o ordine parțială clasa tuturor lui RV. Și anume, se crede că. if (r1) cuprinde (R2) (și în acest caz, precum și (r1) cuprinde (r2)).

Pentru fiecare subclasă Mklassa inferioară clasei radical l (M), generat de M-clasa se numește. clasă mică radical care conține M și corespunzător lui R este numit. inferioară de clasă radicală definită M. Clasa superioară și radicalul (M), o anumită clasă M, se numește. cea mai radicală clasă, în ceea ce privește P. la- toate algebra de Mpoluprosty (R. Aceasta se numește. top radical class definit M). Pentru orice clasă Mnizhny clasă radical l (M) .Există. În cazul în care - o clasă de algebre asociative, partea superioară a R. pentru orice subclasă M.