Proprietățile nedefinită integral - studopediya

Funcția primitivă și nedefinită integrală

Funcția F (x) este o funcție primitivă a funcției f (x) în intervalul X, în cazul în care, la fiecare punct x al intervalului
F „(x) = f (x) (adică derivata funcției este primitiv).

De exemplu, F (x) = x 3/3 este o funcție primitivă
f (x) = x 2, deoarece (x 3/3) = x „2.

Rețineți că primitive definite în mod individual pentru fiecare funcție. De exemplu, pentru o funcție f (x) = x 2 primitivele sunt funcții F1 (x) = x 3/3 + 7, F2 (x) = x 3/3 - 10 și, în general, orice funcție a formei
F (x) = x 3/3 + C, unde C - o constantă. Acest lucru este ușor de văzut prin luarea derivatelor acestor funcții (constant derivat este zero).

În mod similar, în general, în cazul în care F (x) - o primitivă f (x), apoi, din moment ce ((F (x) + C) '= F' (x) = f (x), toate funcțiile de forma F (x ) + C, unde C - număr arbitrar, primitivele sunt, de asemenea, pentru f (x).

Din cele de mai sus nu este clar dacă este posibil să se descrie în forma F (x) + C toate primitivele pentru o funcție dată f (x) (poate fi, există alte primitive care nu pot fi reprezentate ca suma găsită și constantele primitive).

Teorema. Dacă F1 (x) și F2 (x) - primitivele pentru funcția f (x), atunci există un număr C, care este egalitatea F2 (x) = F1 (x) + C.

Prin corolar la teorema lui Lagrange dacă derivatul este zero la un anumit interval de timp, atunci funcția identic constantă pe acest interval. În consecință, diferența dintre aceste primitivilor va fi o constantă C: F2 (x) - F1 (x) = C Û F2 (x) = F1 (x) + C.

Din teorema că exprimarea F (x) + C sunt setate pentru toate primitivelor posibile de f (x).

Totalitatea tuturor primitivelor pentru funcția f (x) în intervalul X se numește integrală nedefinită a funcției f (x) și este notat cu
ò f (x) dx, unde ò - semnul integral, f (x) - integrantul, f (x) dx - integrantul. Astfel, ò f (x) dx = F (x) + C.

Funcționarea de a găsi integralei nedefinită a unei funcții este integrarea acestei funcții.

Se poate dovedi că o condiție suficientă pentru integrabilitatea intervalului X este continuitatea acestei funcții, la un anumit interval de timp (în timp ce pentru funcțiile derivabile pentru continuitatea sa este doar o condiție necesară, dar insuficientă).

Proprietățile nedefinită integrală

Luați în considerare fără dovada proprietățile de bază ale integralei nedefinită.

1. Derivatul unei integrale nedefinită este egal cu integrandul, adică (ò f (x) dx) `= f (x).

2. Differential integrală nedefinită este egal cu integrandul, adică d (ò f (x) dx) = f (x) dx.

3. Integrala nedefinită a diferențiala unei funcții este funcția sa într-un termen constant, adică
ò dF (x) = F (x) + C.

Compararea proprietăților 2 și 3, se poate spune că operațiunea de a găsi nedefinită diferențial și integral mutual inverse (semne d și ò se anulează reciproc, în cazul stării 3, dar cu până la o constantă).

4. Un factor constant poate fi luată în afara semnului integral, și anume,
ò C * f (x) dx = C *ò f (x) dx.

5. Integrala suma algebrică a două funcții este suma integralelor acestor funcții, și anume ò (F1 (x) + f2 (x)) dx = ò f1 (x) dx + ò f2 (x) dx (această proprietate este valabilă pentru orice număr finit de summands).

Listă ( „masă“) integralele de bază

Enumerăm integralelor funcțiilor elementare, care sunt numite uneori tabel:

Oricare dintre formulele de mai sus poate fi demonstrată prin luarea derivata partea dreaptă (ca rezultat al funcției integrandul este obținută).