Primele ecuații diferențiale de ordinul (p

O ecuație diferențială este o ecuație care se referă variabila x independent, funcția necunoscută y (x) și derivata funcției dorite.

Simbolic, ecuația diferențială poate fi scrisă ca

Necunoscut aici este funcția y. care intră derivați de caractere (sau diferentiale).

Dacă funcția y necunoscută (x) este o funcție de o variabilă independentă, ecuația diferențială se numește obișnuit. În acest capitol, vom lua în considerare numai ecuații diferențiale ordinare.

Ecuația diferențială este cea mai derivata ordine inclus în ecuație.

De exemplu, ecuația este ecuația de prim ordin,

și ecuația - a doua ecuație ordine.

Soluția ecuației diferențiale este orice funcție y (x), care fiind substituitul în ecuație, atrage o identitate. Decizia de asemenea, numita ecuație diferențială integrală.

Funcția este o soluție a acestei ecuații.

De fapt,

și ecuația devine o identitate:
.
Decizia a ecuației în cauză va funcționa

și, în general funcții
, unde - constantele arbitrare.
De fapt,

și ecuația devine o identitate
.

Rețineți că ecuația are un număr infinit de soluții ale formei :.

Soluție de ecuații diferențiale de ordinul întâi

Prima ecuație diferențială este o ecuație care se referă variabila x independent, funcția necunoscută y (x) și prima derivată ordinul funcției dorite.

Ecuația diferențială a primului ordin este dat.

General și soluție specială

Soluția generală a ecuației diferențiale de ordinul I este o soluție care depinde de arbitrară C. constantă dând o anumită valoare, care se poate obține o soluție care satisface orice condiție inițială dată.

Tipul Egalitatea specificând implicit soluția totală, numită ecuație diferențială comună integral.
De notat că, în practică, cele mai multe ori nu se potrivesc soluția generală, iar soluția de așa-numita parțială care îndeplinește condițiile inițiale specifice care decurg din termenii acestei probleme specifice.
O soluție particulară este orice funcție care se obține din soluția generală dacă această din urmă arbitrar constantă C pentru a da o anumită valoare. Raportul menționat în acest caz, mai ales integrală.
Problema găsirii unor soluții ale ecuatiilor diferentiale y I = f (x, y). date condiții inițiale satisfac y (xo) = yo. Se numește problema Cauchy.

teorema lui Cauchy
Dacă funcția f (x, y) - partea dreaptă a ecuațiilor diferențiale y I = f (x, y) - continuă într-un domeniu închis D xOy plan și are în zona delimitată de derivata parțială f Iy (x, y), atunci fiecare intern punctul D corespunde regiunii, și o soluție unică care satisface condițiile inițiale.

Soluția generală a acestei ecuații este familia funcțiilor
.

Într-adevăr, pentru orice valoare a C, această funcție satisface ecuația.
În plus, puteți găsi întotdeauna o valoare de C, care este soluția specială corespunzătoare va satisface dat condiția inițială.

Să ne găsim, de exemplu, o anumită soluție ce satisface condiția inițială y (1) = - 2. Înlocuind aceste valori în ecuația
,
obținem
.
Rezolvarea acestei ecuații pentru C obținem C = - 3.
Prin urmare, soluția particulară dorită va cuprinde: Y = X

Această soluție poate fi obținută folosind applet-ul de mai jos pentru construirea liniilor de câmp și curbele integrale pentru o ecuație de ordinul întâi.

Din punct de vedere geometric al unei soluții generale a ecuației de ordinul I este o familie de curbe pe un plan xOy. depinde de un C. constant arbitrar Aceste curbe sunt numite curbe integrale ale ecuației diferențiale.
soluții particulare ale corespunzătoare de o curbă integrală care trece printr-un anumit punct predeterminat. Astfel, în exemplul din urmă, soluția generală este reprezentată de geometrically o familie de parabole, în care fiecare valoare a parametrului C corespunde unei curbe bine definite. Soluția particulară este reprezentată de un parabole (Fig. 1), care trece prin punctul trebuie remarcat faptul că condițiile inițiale pentru ecuația de ordinul I, cu un punct geometric de vedere este de a defini un punct prin care trebuie să treacă curba integrală corespunzătoare.

Sau decide să integreze această ecuație diferențială, ceea ce înseamnă:

a) pentru a găsi o soluție generală sau generală integrală, în cazul în care sunt date condițiile inițiale,

b) pentru a găsi o anumită soluție care îndeplinește condițiile date inițiale.

Interpretarea geometrică a ecuației diferențiale de ordinul întâi

Să presupunem dat o ecuație diferențială este rezolvată pentru derivatul :.
Această ecuație pentru fiecare punct definește valoarea derivatului, adică. E. Determină panta tangentei la curba integrală care trece prin acest punct.
Astfel, subiectul dă ecuația diferențială sau set de direcții se spune pentru a determina câmpul direcție sau domeniu de elemente liniare. Problema integrării acestei ecuații din punct de vedere geometric, este de a găsi curbe direcție tangentă care coincide cu elementele de linie direcția câmpului la punctele respective.

Luați în considerare ecuația
.
La fiecare punct (x, y), diferită de punctul (0,0), panta tangent curbei integralei este egal cu raportul, r. F. coincide cu panta linie dreaptă care trece prin origine și un punct cu coordonatele (x, y) . Evident, curbele integrale sunt linii drepte y = Cx, unde C - .. O constantă arbitrară, t în direcția acestor linii este pretutindeni coincide cu direcția câmpului.

Existența și unicitatea soluțiilor de ecuații diferențiale.

Având în ecuația de prim ordin, rezolvata pentru derivatul, am ridicat problema determinării soluțiilor sale totale și în cazul în care condițiile inițiale ale unei anumite soluții care satisface această condiție.
Se pune întrebarea: este ea există întotdeauna o anumită soluție ce satisface condiția inițială dată și, dacă există, indiferent dacă acesta este unic.
Să considerăm, de exemplu, ecuația
.
O soluție comună este de a funcționa, iar curbele integrale - o familie de hiperbolice, în care fiecare punct nu situată pe axa Oy trece una și doar o curbă integrală, adică, această ecuație are o soluție unică care trece printr-un punct care nu se află pe axa Oy ... dar nu are nici o soluție care trece prin punctul, luată pe axa Oy.
Acest exemplu arată că nu este întotdeauna o soluție ce satisface condiția inițială dată.
În unele cazuri, soluția nu poate fi singura.
De exemplu, ecuația

Acesta are un număr infinit de soluții care trec prin punctul (0,0).
De fapt, funcția este soluția generală a acestei ecuații, și pentru orice valoare a liniei C trece prin origine. La întrebarea în ce condiții ecuația poate garanta existența și unicitatea soluțiilor care satisfac condiția inițială dată, se întâlnește următoarea teoremă.

Teorema.
Fie funcția și derivata sa parțială sunt continue într-o regiune D pe planul xOy. Apoi, în cazul în care punctul aparține acestui domeniu, există o soluție unică a ecuației ce satisface condiția inițială.

Geometric, acest lucru înseamnă că, în fiecare punct al regiunii D trece una și doar o curbă integrală a ecuației dată. Această teoremă se numește teorema existenței și unicitatea soluțiilor de ecuații diferențiale.
Revenind la exemplul nostru, vom vedea că funcția

și

în cazul în care nu este definit și, prin urmare, nu sunt continue. Acest fapt a avut drept rezultat primul caz, în absența unor soluții care trec prin punctul de axa Ox. în al doilea - la o încălcare a unicității punctului (0,0).

1.1. Ecuatii cu variabile separabile

Să considerăm ecuația primei derivate ordine cu privire permisa:

Această ecuație poate fi rescrisă ca:

sau într-o formă simetrică

oferind relația dintre variabilele x și y și diferențialele lor.

Dacă în această ecuație funcția P depinde numai de x. și funcția Q - numai pe y. atunci ecuația se numește ecuația cu variabile separate.

Astfel, ecuația cu variabile separate se numește ecuația formei

Soluția acestei ecuații se obține prin integrarea directă. Din moment ce partea stanga este suma diferențialele ale celor două funcții este egal cu zero, suma integralelor este egală cu o constantă

Ecuația - o ecuație cu variabile separate. Integrarea, obținem :. integrală generală
tipul ecuației

Se numește ecuația cu variabile separabile.

Această ecuație poate fi redus la o ecuatie cu variabile separate prin împărțirea ambele părți prin expresia

Ecuația integrală generală se obține:

dat ecuația
sau.
Noi separa variabilele și să se integreze.

Ca rezultat al calculelor obținem:

.
Această expresie poate fi scrisă într-o altă formă:

t. a. orice număr poate fi reprezentat ca logaritmul celuilalt.

Astfel, integrala totală a acestei ecuații va avea forma

ecuație diferențială ordinară se numește ecuația formei

partea stângă este o diferență totală a unei funcții, adică. e.

Rescrierea ecuație în original, am ajuns la concluzia că integrala totală a acestei ecuații este dată de Eq.

După cum se știe, funcția diferențială totală exprimată prin formula

O condiție necesară și suficientă pentru ca partea stângă a ecuației este diferențial totală a unei anumite funcții este exprimată prin ecuația

Funcția, în formulă, este găsit prin integrarea funcțiilor P (x, y) și Q (x, y), respectiv, x și y, în care este considerat a doua variabilă să fie o valoare constantă (sau y sau x).

Integrați ecuația diferențială

Pentru această ecuație

Deoarece starea (#), atunci această ecuație este diferențială exactă, deci

Integrarea prima ecuație (y, în acest caz, presupusă constantă), găsim

unde - funcția care urmează să fie determinată.

Diferențierea în ceea ce privește y funcția U (x, y) = C și ținând cont de importanța,
obține
,
de unde
.
Substituind expresia

în egalitate
,
găsi
.
În conformitate cu formula

obține

sau
,
unde
.

Deci, integrala generală a acestei ecuații:

Această ecuație este, de asemenea, uniform și poate fi integrat într-un alt mod.

Găsiți o soluție comună sau ecuație integrală generală cu variabile separabile

Datorită volumului mare de material este plasat pe mai multe pagini:
01 februarie