Operatorii Adjoint și matricea lor - studopediya

Definiția 11.1. Un operator liniar A * se numește operatorul Adjoint A. dacă

Problema apare în mod natural: este acolo pentru un conjugat specific de A?

11.1 Teorema. Fiecare operator liniar are numai conjugat operatorul A *.

Dovada. În baza ortonormală spațiu V u 1. u 2, ..., ONU. Fiecare operator de A. liniar V ®V în această matrice de bază A = responsabil. i. j = 1, 2. n. Să - matricea obținută din matricea A transpusa. Aceasta corespunde unui operator liniar B. atunci

Astfel, se dovedește că pentru fiecare operator liniar într-un spațiu finit dimensional euclidian acolo Adjoint operatorul A *. matrice care, în orice bază ortonormală este transpusa operatorului matricei A. Unicitatea operatorului A * rezultă din proprietățile operatorului adjuncte și dovedit mai sus.¨

Este ușor de văzut că operatorul A *. conjugat liniar operatorul A. Este liniar.

Astfel, operatorul A * este liniară și corespunde matricei A *. Prin urmare, în conformitate cu formula (11.1) are forma relație matrice

Operatorii Conjugat au următoarele proprietăți:

Proprietățile Corectitudinea 1 ° -5 ° derivă din proprietățile matricelor transpun.

Exemplul 1. Fie A - rândul său, euclidiene plane R2 printr-un unghi j cu matricea

într-o bază ortonormală i. j. Apoi, matricea operatorului Adjoint în această bază este

Prin urmare, A * - planul de rotație la un unghi în direcția opusă j ·.