Operații cu vectori și proprietățile lor - studopediya

1. Înmulțirea unui vector de un număr. 2 Pentru a se multiplica un vector de un număr l trebuie să:

1) Lungimea „creștere“ în vector | L | timp (reduce, în cazul în care | l | <1).

2) direcția vectorului să rămână aceeași (același ca și vectorul y) dacă l> 0, sau modificare opus, dacă l <0. Данное определение распространяется как на вектора, расположенные на плоскости, так и в пространстве.

Din figura 2.7 se observă că prin înmulțirea vectorului printr-un număr, coordonatele sale sunt multiplicate cu acest număr. Într-adevăr, amploarea proiecțiilor vectoriale 2 pe axele de coordonate este de două ori valorile proeminențelor vectoriale. În general, în cazul în care un vector are coordonatele. apoi vectorul.

2. Adăugarea de vectori. 2 suma a doi vectori și se numește un al treilea vector. care iese din originea lor comună, și servind o diagonală a paralelogramului, laturile care sunt vectori (în general, paralelogram) (Fig. 2.8).

În cazul în care cei doi vectori și apoi să le aducă la o minciună origine comună pe aceeași linie dreaptă, atunci suma lor este, prin definiție, este un vector. a cărui lungime este egală cu suma lungimilor vectorilor termeni și direcția coincide cu direcția acestor vectori, în cazul în care acesta din urmă în mod egal direcționat; dacă termenii vectorilor îndreptat în direcții diferite, suma lor este un vector. a cărui lungime este egală cu diferența dintre lungimile vectorilor termeni și direcția coincide cu direcția vectorului având o lungime mai mare. În cazul unor lungimi egale ale celor doi vectori direcționate opus suma lor este vectorul a cărui lungime este egală cu zero. Acest vector este denumit vectorul zero și desemnat.

1 Dacă vectorii și sunt definite prin coordonatele lor, coordonatele sumei egale cu suma coordonatelor corespunzătoare ale vectorilor termeni :.

Fig. 2.8 arată că, și în consecință. Aceasta implică o altă regulă de adăugare vector (regula triunghi): dacă începutul vectorului combinat cu capătul vectorului. suma vectorilor este un vector al cărui început coincide cu începutul vectorului. iar la sfârșitul anului - cu capătul vectorului.

g Operația plus are următoarele proprietăți:

Prima proprietate este evidentă. A doua proprietate se va dovedi folosind regula triunghi adaosului vector (fig. 2.9).

4 este compatibil cu începutul vectorului capătului vectorului. și începutul vectorului cu capătul vectorului. Apoi, vectorul. începutul care coincide cu începutul vectorului. iar la sfârșitul anului - capătul unui vector poate fi găsit în două moduri. Pe de o parte. iar pe de altă parte. 3

3. vectori. Scădeți Această operațiune este o definiție specială nu este necesară, deoarece diferența poate fi privit ca două execuție secvențiale operații deja cunoscute: înmulțirea cu -1 și adăugarea vector de vectori. Ie.

g Dacă combinați vectorii de start. vectorul va avea un început la capătul vectorului descăzut (), iar la sfârșitul anului - la capătul redus vectorului ().

4 Este suficient să se folosească faptul că vectorul. Acesta este pliat cu vectorul. Acesta oferă un vector (Fig. 2.10). 3

Dacă vectorii și au coordonatele. . coordonatele diferenței lor egală cu diferența dintre coordonatele respective scade vectori.

produs 4.Skalyarnoe vectorilor.

(. Figura 2.11) 2 produs scalar al vectorului (desemnat) este un număr egal cu produsul dintre lungimile vectorilor și cosinusul unghiului dintre ele:

. (2.3)
Din cursul școlii știm că produsul scalar poate fi calculată din coordonatele și vectorii. Și anume:

. (2.4)
Formulele (2.1) - (2.4) urmează o formulă foarte utilă pentru găsirea unghiurilor dintre vectori, date fiind coordonatele lor:

1 Produsul interior are următoarele proprietăți:

1. (produsul scalar este comutativ).

2. (un factor constant poate fi luat ca un semn al produsului scalar).

4. dacă și numai dacă vectorii sunt reciproc perpendiculare (vectorul zero este considerat perpendicular pe orice vector).

Toate proprietățile de mai sus sunt derivate din definiția produsului scalar și testate în mod direct.

5. Vectorul proiecție pe axa. Lăsați un vector 2 și lăsați P și Q sunt proiecțiile punctelor A și B, respectiv, cu o axă număr predeterminat (c). Proiecția vectorului pe osia (e) este cantitatea direcționată segment.

Definiția sugerează faptul că Pr (c) = a condus. = | | × cosj = | | × cosj,
unde j - unghiul format de vectorul cu axa (c).

Dacă axul (e) să ia un vector arbitrar. îndreptate în aceeași direcție ca și axa (C), unghiul j poate fi definit ca unghiul dintre vectorii și formula (2.5). atunci

Pr (s) =. (2.6)
Ecuația (2.6) vă permite să găsiți proiecția vectorului pe direcția vectorului.

produs 6.Vektornoe vectorilor.

2 produsul vectorial al vectorului (denotat) este un vector. a cărui lungime este numeric egală cu aria paralelogramului construit pe vectorii și. perpendicular atât vectorii și. și dirijat, astfel încât capătul cel mai scurt rotație a vectorului în Counterclockwise vizibil vectorul (vectorii. și formează un dreptaci) (Figura 2.12).

Nota 1 număr de proprietăți care rezultă direct din definiția produsului vectorial al:

4. dacă și numai dacă vectorii și sunt coliniari (se află pe linii paralele). Zero vector este considerat a fi orice vector coliniare. Coordonate vectori coliniare sunt proporționale.

Produsul vectorial este cel mai des utilizat atunci când aria unui paralelogram și un triunghi (figura 2.13). Urmați direct din definiția celor două formule:

. (2.7)
. (2.8)
Ca cel mai simplu exemplu, ia în considerare toate posibile de produs vectorial al vectorilor unitare. dispuse pe axele de coordonate Ox. Oy și Oz. respectiv:

(2.9)
Deducem o formulă pentru a găsi produsul vectorial a doi vectori arbitrare specificate prin coordonatele lor. Să presupunem că avem doi vectori și. Folosind proprietățile produsului vectorial, vom găsi.

(2.10)
Substituind în (2.10) (2.9) și termeni similari, obținem:

(2.11)
Sau într-o formă mai compactă

7. Produsul mixt al vectorilor.

produs în amestec a trei vectori. și se numește produsul-vector scalar. Produsul amestecat este un număr. Calculăm acest număr, cunoscând coordonatele vectorilor. și. Formula (2.11), care. In plus, formula (2.4), obținem:

Un rezultat similar se obține în cazul în care vom calcula (căutați-l). Astfel, putem concluziona că
=. Datorita acestei proprietati, produsul mixt este de obicei notată cu simbolul. Noi am demonstrat că

(2.13)
Deoarece schimbul de două rânduri de semnul schimbări determinante,

Astfel, la sfârșitul rearanjarea produsului triplu vectorial la început, produsul vectorial nu se schimbă semnul său. Și schimbul de doi factori vecine, modificările de produse mixte semneze.

Modul g produs mixt este numeric egal cu volumul unui paralelipiped format de vectorii. și.

4Atunci definiția produsului scalar:

în cazul în care. și j - unghiul dintre vectorii și. Prin urmare,

unde H este indicat de înălțimea cutiei, care este egală cu proiecția modulului în direcția vectorului. perpendicular pe planul ABCD de bază paralelipipedic. V -. Volumul unui paralelipiped (Fig 2.14) .3

Deoarece volumul piramidei triunghiulare formate de vectori. și. de șase ori mai mic decât volumul corespunzător cutiei, atunci

(2.15)
Obiectivul 2.2. ABCD (. Figura 2.15) piramida dată: A (2; 4; - 1), B (3, 2, 0), C (1 - 3; 2), D (5, 1, 3). Găsiți: 1) unghiul BCD; 2) suprafața feței ABC; 3) Volumul piramidei.