ocuparea forței de muncă practic 2

Dubla integrala pe o suprafață plană D. pe acesta dintr-o funcție predeterminată este înregistrată după cum urmează:

unde ds - măsoară elementul zona infinitezimal D. Calcul dublu calcul integral se reduce la o secvență de două linii în integralele variabilele x și y.

În această regiune D trebuie să fie corecte.

Zona D se numește regulat dacă liniile paralele cu axele de coordonate se intersectează limita ei nu mai mult de două puncte (Fig. 2.3.1 a). Regiunea neregulate pot fi împărțite în părți și reprezentate ca zone de dreapta unire, de exemplu D1 și D2 (Fig. 2.3.1, b).

Formele de regiune planare D sunt considerate corecte predeterminate. dacă știm ecuația de limitare a liniilor sale.

Să ne amintim că partea de bază (regiunea de bază), care împart domeniul D în compilarea sumei integrale, au fost identificate în paranteze:

și acțiunile lor (zona) același simbol fără paranteze:

Va găsi expresia convenabilă pentru regiunea de măsură elementul - ds.

În acest scop, D divide în linii de piese elementare paralele cu axele de coordonate (Fig. 2.3.1 a). Apoi, partea elementară a măsurii va fi egală cu aria dreptunghiului:

și integrala dublă (2.3.1) poate fi scrisă ca:

Să ecuația liniei delimitării corectă D este cunoscută. Am găsit limitele variabilelor x și y în acest domeniu. Pentru acest design punctele extreme A și B pe axa x (ris.2.3.2). Se obține o reducere a [a, b], în cadrul căreia modificările variabilei x D.

În plus, rețineți că punctele A și B este împărțit în două părți, o linie care definește zona D.

Lăsați aceste ecuații linii: y1 (x) și y2 (x), prin urmare, variabila y într-o zonă D plană se modifică de la valorile lor pe linia y1 (x) la valorile de pe linia y2 (x). Ca urmare, integrala dublu (2.3.2) va fi:

Formula (2.3.3) care calculul dublu integralei a fost redus la două calcule consecutive ale integralelor linie. Integrala interior preia variabila y. în timp ce x - considerate permanente. După identificarea unei primitive și de substituție în limitele integralei interior este o variabilă x. care se calculează pe exterior integrală.

Ordinea integrării în (2.3.3) pot fi schimbate între ele. Integralei exterioară nu este calculată în x. după cum rezultă din Formula (2.3.3), iar variabila y. D este necesară pentru a proiecta axa Oy. Apoi proiecțiile punctele sale extreme vor da permanente dincolo de integralei exterior pentru y. Integrala interioară trebuie calculată pe variabila x. Limita în această variabilă va depinde de y.

Astfel, limitele exterioare integrale în ambele cazuri sunt constante, ele sunt proiectate puncte de câmp extreme pe axa corespunzătoare de coordonate.

Calculul consecventă a celor două linii numite integralelor de integrare dublă.

Trebuie remarcat faptul că principala dificultate în reducerea integrării duble la o aliniere dublu este în afara interior integral, care în majoritatea cazurilor variabile. Prin urmare, prima zonă de construcție, și D este selectat axe de coordonate pe care zona de proiectare. Apoi găsește proiecția (# 945 ;, b) zona punctelor extreme pe această axă și desenul determină limitele pentru variabilele interne integrale.

Exemplul 1. Aranjați limitele variabilelor x și y în dublu integrală:

Decizie. Noi prognozăm zona construită (Fig. 2.3.3) pe axa x.

graficele punctului funcțiilor de intersecție Y1 = x 2 și v2 = 6 - x este un punct extrem al regiunii.

Rezolvarea unei ecuații pătratice, obținem:

Astfel, variabila x în regiunea D ia valori -3-2, în care a doua schimbări y variabile din valorile lor pe linia
y1 = x2 la valorile de pe linia y2 = 6 - x.

Exemplul 2 Pentru un anumit domeniu pentru a plasa limite

Decizie. DOMENIU ogranichenaokruzhnostyu D x 2 + y 2 - x 0 = descentrat-a lungul axei x. Iată ecuația cercului la forma canonică. Evidențierea pătrat completă în variabila x. obținem:

Astfel raza. centrul deplasat spre dreapta
(Fig. 2.3.4). Variabila x din D variază de la 0 la 1, a doua variabilă y - de la valorile lor la partea de jos a cercului (ecuație) la valori la partea superioară, adică la (circumferința Ecuație rezolvată pentru y).

Exemplul 3: Se calculează dublu integrală

Decizie. Limitele variabilelor din regiune în afară. Din moment ce acestea sunt constante, regiunea D este un dreptunghi cu laturile: de-a lungul axei x la 0 la 1 de-a lungul axei y - de la 0 la 2. compute interior integralei în variabila x. considerate la - constantă.

După limite de substituție pentru variabila x numai pentru a doua variabila y. Calculăm apariția integrală a acestei variabile:

Exemplul 4. Se calculează dublu integrală a funcției f (x, y) = x - y de regiune D. delimitată de: y = x = y 2. x.

Decizie. Noi proiect de suprafata construita pe axa Ox (fig. 2.3.5). Punctele de intersecție ale graficelor funcțiilor y = x 2 = x și y - există puncte extreme ale câmpului. Vor găsi proiecțiile lor:

Astfel, în cadrul regiunii variabile D x variază de la 0 la 1. Limitele variabile a doua y depinde de x. Pentru a le găsi, desena linii drepte paralele cu axa Oy. intersectând regiune D. Aceste linii pentru diferite valori ale lui x sunt în domeniul de aplicare pe linia y = x 2 în și în afara zonei de pe linia y = x (Ris.2.3.5). Prin urmare, variabila y este schimbată într-o regiune de valori pe linia y = x 2 la valorile de pe linia y = x.

Y Substituind limitele superioare și inferioare, obținem:

După cum sa menționat mai sus, extern integralei calculat de variabila y. D este necesară pentru a proiecta pe axa Oy. Găsim proiecția punctelor extreme ale câmpului pe axa:

Apoi, valoarea lui x variabilă în regiunea D va fi modificată de la valoarea sa în ecuația liniei x = y la valorile sale la ecuația parabolei rezolvată în raport cu x. Prin urmare:

În ambele cazuri, rezultatul calculului este același.

Exemplul 5. Se calculează dublu integralei regiune D. delimitată de: y = x. y = 0, x + y = 2.

Decizie. Regiunea D prezentată în Fig. 2.3.6. Vedere a zonei indică faptul că integrala exterioară este mai ușor să-și asume variabila y. Noi prognozăm zona de pe axa de proiecție, și pentru a găsi punctele extreme

Variabila x in interior integrala va fi schimbat de la valorile lor pe linia x = y on line adică valori.:

Parantezele din integralei pe partea dreaptă a acestei egalități și de colectare similare, obținem:

În cazul în care D este proiectat pe axa Ox (fig. 2.3.6), dubla integrala nu poate fi scris ca o dublă integrală. Regiunea de integrare D va fi împărțită în două părți, ca și pe intervalul [0,1] Axa Ox modificări y variabile de la 0 la valorile lor pe linia y = x. și pe intervalul [1,2] - la valori pe linie. ca urmare, avem:

Acest exemplu arată cât de important este să ne gândim în primul rând ordinea de integrare.

Sarcini pentru decizia independentă. Pentru o anumită zonă pentru a plasa limite pe integralei

D este delimitată de linii:

Calculați integralele duble:

Hands-on Lab 2.4. aranjament triplă integrală limitează calculul în coordonate carteziene

Este necesar să se găsească valoarea integralei triple a unei funcții de trei variabile u = f (x, y, z) în zona spațială W la volumul V:

unde dv - măsură regiunea elementului (element de volum).

Presupunem că regiunea spațială (corp) W este delimitată de o suprafață închisă a cărei ecuație este cunoscută

Ca și în cazul unui dublu integrală vom găsi expresia convenabilă pentru măsura elementului body - DV. Pentru aceasta divide regiunea W în plane părți elementare paralele cu coordonate plane (Fig. 2.4.1).

Apoi, pentru poate lua DV volumul caseta DV = DXDYDZ și triplă integrală devine:

Calculul integralei triple (2.4.1), cum ar fi dublu, redus la o secvență de trei calcul liniar integralelor variabilelor x. y. z sau integrarea triplă. Am găsit limitele de variație a variabilei x. y. z într-un anumit domeniu spațial W (am spus deja că regiunea W este considerată o dată, dacă este cunoscută ecuație limitarea suprafeței sale).

W proiect corpul pe xOy coordonate avionul. Rezultatul este o regiune D plană (fig. 2.4.2). La acest punct de contact, corpul cilindrului proiectează și W formează o linie care desparte z suprafață (x, y), definind corpul W. în două părți. Notăm aceste piese de ecuații: z1 (x, y) și z2 (x, y) sunt, respectiv.

Este evident că z variabilă în interiorul regiunii spațiale schimbă W din valoarea sa la suprafața z1 (x, y) valori pe un z2 suprafață (x, y). Dacă vom trage linii paralele cu axa Oz. acestea vor fi incluse într-o anumită zonă de pe suprafața z1 (x, y) și lăsați-l pe suprafață (x Z2, y).

În continuare, proiectul punctele extreme A și B pe o regiune plan axa Ox D. obține segmentul [# 945 ;, b], în variabila x care variază în W. În sfârșit, nota că punctele A și B este împărțit în două linii regiune delimitând D. Să aceste linii de ecuații: y1 (x) și y2 ( x).

Prin urmare, variabila y în spațiale schimbă regiunea W de la valorile lor pe linia y1 (x) la valoarea de pe linia y2 (x).

Astfel, triplu integrală este egală cu de trei ori integralelor linie de forma:

În Formula (2.4.3), prin luarea integral variabila z intern. unde x și y sunt presupuse a fi constante. După limitele sale de calcul și de substituție sunt cele două variabile x și y. În continuare integrala calculată de variabila y - cu condiția că x = const. După calculul acestuia rămâne o variabilă x. potrivit căruia acesta din urmă considerând exterioară integrală. Limite constantă exterioară integrală. Luați în considerare câteva exemple referitoare la calculul integralelor triple.

Exemplul 1. La limite loc pe triple integralei:

în cazul în care zona delimitată de suprafețele W:

Decizie. Zona de locație între cele trei planuri de coordonate x = 0; y = 0; z = 0 și planul x = 3.

W este mărginită de deasupra planului z + y = 2, paralel cu axa Ox
(Fig. 2.4.3). Zona de proiecție W pe coordonate xy plan este un dreptunghi. Prin urmare, variabila x în intervale W de la 0 la 3 și y - de la 0 la 2. Limita superioară pentru variabila z depinde de y. Valorile acestei variabile se modifică de la 0 la o valoare în planul z + y = 2.

Astfel, triplu integrală este egală cu de trei ori liniar integral cu exteriorul

Exemplul 2. Se calculează integralei

Decizie. In interior variabilele limite integrale. În primul rând vom calcula integrala interioară în variabila y, considerând xpostoyannym

În continuare vom lua integralei variabilei z. în care x = const

A existat o variabilă x. Calculăm ultima integralei

Exemplul 3. Se calculează triplă integrală. în care W este delimitată regiune de coordonate plane x = 0; y = 0; z = 0, și un plan x + y + z = 1.

Decizie. DOMENIUL W reprezintă un tetraedru, plan superior limitat x + y + z = 1, care se intersectează cu axele de coordonate x = 1; y = 1; z = 1 (Ris.2.4.4). Pentru a găsi limitele z variabilă în W. efectua tetraedru transversală linii drepte paralele cu axa Oz. Aceste linii vor fi incluse în tetraedrul pe z coordonate plane = 0, și se lasă pe un plan x + y + z = 1.

În consecință, valoarea z variabilă în zona W va varia de la 0 la z = 1 - x - y. Astfel, limita superioară pentru z nu este constantă și depinde de (x, y), adică, coordonatele unui punct de pe xOy plan. prin care tetraedrul intersectează linia (Figura 2.4.4.). Zona de proiecție W pe planul xOy este un triunghi delimitat de axele de coordonate Ox. Oy și linia x + y = 1 (Ris.2.4.4). În cazul în care este proiectat pe axa Ox. variabila x din interiorul triunghiului se va schimba de la 0 la 1, iar variabila y - de la 0 la valorile pe linia x + y = 1; y = 1 - x. Ca urmare a triplei integralei se reduce la trei ori tipul liniar:

Calculăm mai întâi integrala interior în variabila z. Considerând x și y constant

În mod similar, vom găsi integralei medie pe y. Avand x constante:

După calcularea mediei integralei și substituții în una variabila x rămasă. Ultima ia exterioară integrală pe această variabilă, și integralei find logaritmului în părți:

Calcularea ultimele două integralele, am în cele din urmă se obține:

În acest exemplu, limitele superioare ale integralelor interioare și de mijloc au fost variabile. Prin urmare, schimbarea ordinii de integrare ar duce la o schimbare în limitele fiecărei variabile.

Exemplul 4. Se calculează triple integralei unde W regiune este delimitată de două suprafețe cilindrice:

și avioane: x = -1; x = 2.

Decizie. Suprafețele cilindrice sunt paralele cu axa Ox
(Fig. 2.4.5). Vom găsi punctul de intersecție al liniilor de ghidare ale acestor suprafețe din condiția:

Zona de proiecție W pe planul xOy este un dreptunghi (Ris.2.4.5). Prin urmare, limitele de schimbare pentru variabilele x și y din constanta W:

-1 ≤ x ≤ 2; -1 ≤ y ≤ +1,

iar variabila z va varia de la valorile de la suprafață la valorile pe. Acest integral triplu se reduce la trei ori integralei liniară de forma:

Substituind z exterior și găsirea integralele rămase variabilele x și y obținem:

Dacă domeniul de integrare, W este un paralelipiped cu fețe paralele cu coordonate plane, limitele de integrare sunt constante în toate cele trei integralele. În acest caz, integrarea poate fi realizată în orice ordine, iar limitele sunt menținute.

Sarcini pentru decizia independentă. Pentru o anumită zonă pentru a plasa limite pe integralei.

DOMENIU w suprafețe limitate