numere raționale

Dacă vă conectați la numerele naturale numărul \ (0 \) și toate numere întregi negative: \ (-. 1, -2, -3, -4 \) - veți obține un set de numere întregi. Acest set este de obicei notată cu litera ℤ.

Dacă este setat pentru a conecta toate numere întregi fracție ordinară 2 3, - 1 2; 03 august, etc - .. Ai setul de numere raționale. Acest set este de obicei notată cu litera ℚ.

Orice număr întreg \ (m \) poate fi scrisă ca m fracție 1. Prin urmare, afirmația că mulți ℚ rationale - este setul de numere de forma m n; - m n. unde \ (m, n \) - și numărul de numere naturale \ (0 \).

Folosind denumirile introduse ℕ. ℤ. ℚ. Suntem de acord cu următoarele:

1. În loc de expresia «\ (n \) - număr întreg“ puteți scrie n ∈ ℕ (Citiți „elementul \ (n \) face parte ℕ „).

2. În loc de expresia «\ (m \) - întreg“, puteți scrie m ∈ ℤ .

3. În loc de expresia «\ (r \) - un număr rațional“, puteți scrie r ∈ ℚ .

Este clar că ℕ - o parte a setului ℤ. și ℤ - o parte a setului ℚ. Pentru a descrie această situație în matematică este, de asemenea, o notație specială: ℕ ⊂ ℤ. ℤ ⊂ ℚ .

Simbolul matematic ∈ este numit semnul apartenenței (elementul aparține setului).

Simbolul matematic ⊂ se numește semnul pe (conține un set la altul).

În general, în înregistrarea matematică x ∈ X implică faptul că \ (x \) - unul dintre elementele mulțimii \ (X \). Înregistrarea A ⊂ B înseamnă că o pluralitate de \ (A \) reprezintă un subset \ (B \). Matematicienii spun de multe ori acest lucru: \ (A \) - un subset al \ (B \).

Seturi în matematică notat în mod normal, cu majuscule, și o multitudine de elemente - litere mici.

O înregistrare ca și acel element \ (x \) nu aparține \ (X \) sau o pluralitate de \ (A \) nu este o parte (subset) al setului \ (B \)? Ei folosesc aceleași personaje, dar a trecut cu o bară oblică: x ∉ X; A ⊄ B.

Numerele raționale ca fracții zecimale infinite periodice

Pentru toate aceste numere, puteți utiliza aceeași metodă de înregistrare, care acum vom discuta.

Să considerăm, de exemplu, un întreg \ (5 \), fracțiune comună de 22 iulie și o fracție \ zecimală (8.377 \).

Integer \ (5 \) poate fi scrisă sub forma unei fracții zecimale fără sfârșit: (. 5.0000 \) \ fracțiile zecimale \ (8.377 \) poate fi scrisă sub forma unei fracții zecimale fără sfârșit: (. 8.377000 \) \ Pentru numărul 7 22 folosesc metoda „împărțirea unghiului“:

După cum puteți vedea, de a doua cifre după virgulă se produce repetarea aceluiași grup de numere: \ (18, 18, 18 \). Astfel, 22 iulie \ (= 0.3181818. \). Pe scurt, este scris ca: \ (0,3 (18) \).

grup care se repetă de cifre după virgulă se numește perioada. și foarte decimal - fracție zecimală infinită periodică.

De altfel, numărul \ (5 \), poate fi reprezentat ca o zecimală infinită. Pentru a face acest lucru, în perioada de număr record \ (0 \):

In general, orice număr rațional poate fi scrisă ca o fracție infinită zecimală periodică.

Această concluzie este utilă pentru teoria, dar nu atât de convenabil pentru practica. La urma urmei, în cazul dat o zecimală \ finit (8377 \), atunci de ce înregistrarea ei ca 8377 (0)?

Prin urmare, spun de obicei: orice număr rațional poate fi scris ca o zecimală finită, sau sub forma unei fracții zecimale periodice infinit.

Mai sus am arătat cum o fracțiune obișnuită prezentată sub forma unei zecimale periodice infinit. Invers, orice fracție zecimală infinită periodică poate fi reprezentat ca o fracție comună.

Acest lucru înseamnă că orice fracție periodică zecimală infinită este un număr rațional.