Numărul real (real)
4.1. Reprezentarea numerelor reale ca zecimale infinite
Orice număr real poate fi reprezentat într-o formă de fracție zecimală infinită:
a = a 0; 2. 1 a a n. ;
care dintre cele două semne luate una: plus - pentru numere pozitive, negative - pentru numere negative (semnul plus nu este de obicei scris).
Numerele raționale pot fi reprezentate sub forma unor numere periodice și iraționale - sub forma unei fracții zecimale infinite neperiodice. Unele numere raționale pot fi reprezentate ca o fracție finită sau, echivalent, sub forma unei fracții fără sfârșit cu zero în perioada. Astfel de numere permit doua reprezentare - sub forma unei fracții zecimale fără sfârșit, cu numărul 9 în perioada. De exemplu:
1 = 2 = 0; 0. 500 = 0; 5 (0); 1 = 2 = 0; 49999. = 0; 4 (9):
Atunci când se compară numerele reale pe care le utilizează pentru astfel de numere raționale doar prima formă de scriere (cu un zero în perioada).
De obicei, o comparație a numerelor reale
Fie a = a 0; 1 ,. ; a n ;. b = b 0; b 1 ,. ; b n ;. - numere reale arbitrare reprezentate ca zecimale infinite. Numerele a si b se spune că sunt egale (a = b), în cazul în care au același semn și egalitățile: a = k b k. k = 0; 1; 2;. În caz contrar, se consideră că un 6 = b.
Atunci când se compară numere inegale a și b, luăm în considerare trei cazuri:
1) a și b - întregi nenegative. 6 Deoarece a = b, atunci există un număr natural n sau n = 0, astfel încât k = b k. k = 0; 1;. ; n 1 și 6 a n = b n. Presupunem că a> b, în cazul în care un n> b n. și că un 2) o - non-negative, b - un număr negativ. Presupunem că> b; 3) a și b - numere negative. Presupunem că> b, în cazul în care jaj Prin definiție jaj = a, în cazul în care un - un număr întreg non-negativ și egală cu o, în cazul în care un - număr negativ. Lăsați un set nevid X sunt definiți operația plus (notată cu +), multiplicarea (notate) și compararea (notate cu 6): Aceasta înseamnă că pentru orice două elemente x; y 2 X suma lor x + y și produsul de x y sunt din nou elementele X, și este de asemenea cunoscut modul în care acestea se referă la raportul: x 6, y 6, y sau x. În ceea ce privește introducerea operațiunilor, vom presupune că următoarele axiome. I. Axiomele plus 1. Existența elementului neutru: 9 0 2 8 X X x 2 + x 0 = x. 2. Existența unui element invers: 8 x 9 x 2 X X x 0 2 + x 0 = 0. 3. asociativitatea plus: 8 x; y; z 2 X (x + y) + z = x + (y + z). 4. plus comutativ: 8 x; 2 y x x + y = y + x. Setul X, care îndeplinește condițiile I 1 -I 3. Se spune că grupul în raport plus (grup aditiv). Setul X, care îndeplinește condițiile I 1 -I 4. numite comutativ (abelian) grup în cadrul operațiunii de adăugare. II. axiome de multiplicare 1. Existența elementului neutru: 9 1 2 8 X X x 2 x 1 = x. 2. Existența unui element invers: 8 x 2 X n f0g 9 0 2 x x x x 0 = 1. 3. Asociativitatea multiplicare: 8 x; y; z 2 X (x y) z = x (y z). 4. comutativității de multiplicare: 8 x; y 2 X x y = y x. Setul X, satisfăcând II -II 3. 1 grup numit operația de multiplicare (grupul multiplicativ). Setul X, satisfăcând 1 II -II 4. numit grup comutativ (abelian) în ceea ce privește multiplicarea. III. Legătura dintre adunare și înmulțire 8 x; y; z 2 X (x + y) z = x + y z z. Axioma III se numește distributivă sau Setul X, satisfăcând axiome I-III, numit un câmp. IV. Axiomele ordine x 6 și y 6 y z) x 6 z. Setul X, satisfăcând IV -IV 4. 2 este un set parțial ordonat. Setul de X, care îndeplinește condițiile de 1 IV -IV 4. numit set bine ordonat. V. Relația dintre adăugarea și relația comandă Dacă x 6 y, z 8 atunci X 2) x z 6 + y + z. VI. Legătura dintre multiplicare și relație de ordine Dacă x 6 y, apoi 8 z> 0) x z y z 6. VII. continuitate axiomă Fie A X, B X, A 6 = ;, B = 6; și orice elemente A și 2 b 2 B deține 6 b. Apoi, există un element c 2 X, care a 6 b 6 c pentru orice b a 2 A 2 și B. Setul X, satisfăcând axiome I-VII, și care cuprinde mai mult de un element, numit un set de numere reale (reale). Acesta este de obicei notată cu R. Pluralitatea descrisă mai sus de zecimale și operații cu ei este un model posibil pentru setul de numere reale. Un alt exemplu al unui model de numere reale este o linie număr. 4.3. Consecințele axiomele de numere reale Cititorul va fi util pentru a dovedi în mod independent unele consecințe comune ale axiomelor de mai sus. 1. Unicitatea zero. 2. Singurele elemente cu privire la operațiunea inversă de adăugare. 3. Ecuația a + x = b are o soluție unică x = b a. 4. Unicitatea unității. 5. (Singurele elemente cu privire la operația de multiplicare inversă). Pentru fiecare x 2 R, x 6 = 0, există doar un singur element în ceea ce privește operația de multiplicare inversă. Element Inverse cu privire la multiplicarea x va fi notată x 1. Înregistrarea x y y denotă multiplicarea cu inversul x, m. E. 1 x y. 6. Pentru fiecare a = 0, ecuația 6 a x = b are o soluție unică x = a b. 7. Pentru orice x R 2 x = 0 deține 0. 8. Pentru fiecare 2 x R unde (x) - inversul x, o (1) - 1 invers. 9. pentru orice x (proprietatea densitate a setului de numere reale.); y 2 R (să fie specific șase x y) există un element z 2 R, care x 6 z 6 y. 10. Inegalitățile x 6 y, x y 6 0, y 6 x, 6 y x 0 echivalent. Unele seturi numerice Numerele reale pot fi reprezentate printr-un punct de pe o axă de coordonate. Prin urmare, mulțimea tuturor numerelor reale numit linia reală, iar numerele în sine - puncte, și atunci când se analizează numărul de seturi folosesc adesea interpretarea lor geometrică. Să ne amintim că axa de coordonate se numește linia dreaptă pe care punctul selectat, care este originea, segmentul de scară și direcția pozitivă. Noi folosim următoarea notație și terminologie: N - mulțimea tuturor numerelor naturale; Z - mulțimea tuturor numerelor întregi; Q - mulțimea numerelor raționale; R = (1, 1) - set de numere reale (linia reală); [A; b] - segment (segment), adică setul de numere reale x, care satisface inegalitatea .. (A; b) - interval, adică, setul de numere reale x, care satisface inegalitățile o .. [A; b), (a; b] - interval (porțiunea jumătate), adică setul de numere reale x, respectiv, satisfăcând inegalitățile de 6 x .. (1, a), (a, +1) - intervale infinite; Segment interval de interval, fasciculul, și linia de jumătate de număr va fi, de asemenea, numit un decalaj. Elemente de topologie a liniei reale "O vecinătate a lui x, unde"> 0, numit intervalul (x "x +"). Denotat O „(x). Setul X R este deschisă dacă oricare consemnului intră împreună cu unele „-neighborhood: X 2 8 X 9 „> 0 O„(x) X: Un cartier de la punctul x este orice deschis care conține punctul x. O Notată (x). cartier găurite ( „-neighborhood) din punctul x este setul de cartier (“ cartier), cu un punct îndepărtat din acesta x:4.2. definiția axiomatică a setului de numere reale