Metoda de matrice Adjoint - studopediya

Determinarea matricei inverse

Contact matritsaMetod atașat matrice. ecuații matrice. Metoda prin matrice pentru sisteme de ecuații liniare de rezolvare. matrice Rank. invecineaza metoda minori. Metoda de transformare elementară. Teorema minorului de bază.

matricei A -1 se numește matricea inversă a matricei A, în cazul în care egalitatea

Din această definiție rezultă că reciproca matricei permutare. Acest lucru înseamnă că numai matrici pătrate pot fi inversate. Cu toate acestea, nu orice matrice pătratică are un invers. O matrice A avut un invers, dacă și numai dacă determinantul său este nenul. DETA ¹0.

% De fapt, definiția matricei inverse și de a obține proprietăți ale factorilor: det (A -1 A) = DETA -1 DETA = dete = 1, ceea ce implică condiția necesară pentru existența matricei inverse: DETA ¹0 sau DETA -1 ¹0. Problema probei a suficienței această condiție este mai complicată. Pentru a face acest lucru, trebuie să specificați un algoritm pentru construirea unei matrice. De aceea, ne vom întoarce la această întrebare mai târziu (a se vedea. Metoda matricei adjoint).

Rețineți că, dacă există invers, o astfel de matrice singură. Într-adevăr, să presupunem că există o altă B. matrice satisfăcând AB = BA = E. atunci putem scrie:

din care obținem B = A -1. și anume matrici inverse coincid.

Matricea a cărui factor determinant este diferit de zero, se numește non-degenerate. sau nesingular; în caz contrar, se spune a fi degenerat. sau speciale. poate fi formulată ca o condiție necesară și suficientă pentru existența unei matrice inverse după cum urmează: există matrice inverse, și numai unul, dacă și numai dacă matricea inițială este nesingular.

Pentru matrici nedegenerata avem următoarele proprietăți:

Matricea A Ú numita Adjoint matricei A, dacă este transpusa matricei A. în schimb elementovvzyaty cofactori lor, adică

Teorema 3.1.Obratnaya și adjoint legate de matrice

% Într-adevăr, ia în considerare produsul matrice

În același timp, observăm că suma produselor elementelor unui rând sau o coloană de cofactori lor este egal cu determinantul matricei (vezi teorema pe extinderea unui determinant de-a lungul unui rând sau o coloană.) Pentru suplimentare vom folosi o altă proprietate determinanților: suma lucrările cofactori de un rând sau o coloană pentru corespunzătoare elemente ale unui alt rând sau coloană este egal cu zero. Acest lucru se datorează faptului că această sumă este echivalentă cu determinant, în care două din același rând sau coloană, și, prin urmare, va fi egal cu zero. Astfel, privit înmulțirea matricei, obținem

Prin urmare, validitatea acestei teoreme. Mai mult, faptul ne da un algoritm pentru a construi matricea inversă folosind matricea Adjoint și, astfel, au dovedit o condiție suficientă pentru existența matricei inverse.

Schema generală de a găsi matricea inversă
(Metoda de matrice adjoint):

1) se calculează determinantul unei matrice dat, dacă aceasta este zero, matricea inversă nu există.

2) un predeterminat care transpune o matrice.

3) Se calculează toate cofactori matricei transpuse.

4) Se aduce matricea Adjoint, adică în loc de elemente ale matricei transpuse pus cofactori lor.

5) Scrieți matricea inversă. Pentru aceasta, fiecare element al matricei Adjoint este împărțită determinantul matricei originale.

6) Efectuarea testului.

3) Cautam cofactori matricei transpuse (să nu uităm să ia în considerare semnele cofactori):