Metoda de inducție matematică - studopediya

Inducerea - trecerea de la privat la general, deducere - trecerea de la general la specific. Pentru un set finit de inducție completă - un sinonim pentru căutare exhaustivă. Numai după ce a făcut o listă completă a elementelor unui set finit, putem trage o concluzie generală, dacă posedă orice proprietate a elementelor din acest set. Principiul de inducție permite, în unele cazuri, o căutare exhaustivă a elementelor unui set infinit.

Dovada metodei afirmării inductiei matematice este după cum urmează:

1) Verificarea aserțiune pentru n = 1 (bază de inducție).

2) Se presupune pentru valabilitatea acestei declarații în cazul în care (ipoteza de inducție).

3) Având în vedere această ipoteză se stabilește că deține pentru (etapa de inducție).

Dovada prin inducție incompletă unele situații, în funcție de n ³ p () se desfășoară după cum urmează:

1) Setați afirmația pentru n = p.

2) Presupunem afirmația pentru

3) Pe baza acestei ipoteze, valabilitatea acestuia este stabilită pentru

Exemplu. Demonstrați că este împărțit de 30 pentru numărul natural n.

¨ Dovada continuă prin inducție la numărul total n. Când n = 1poluchaem că 0 este divizibil cu 30. Baza de inducție este. Să presupunem că afirmația este adevărată, și anume, k 5 - k este divizibil cu 30. Fie n = k + 1. Apoi (k + 1) 5 - (k + 1) = k 5 + 5 k 4 + 10 k 3 + 10 k 2 + 5 k + 1 - k - 1 = (k 5 - k) + 5 k (k + 1) (k 2 + k + 1). Primul termen este împărțit la 30 de ipoteza de inducție. Deoarece fie k sau k + 1 sau k 2 + k + 1 este divizibil cu 3, iar produsul a două numere întregi consecutive k (k + 1) este divizibil cu 2, iar al doilea termen este împărțit la 30. Afirmația este dovedită de complet matematic inducție.

¨ Baza de inducție. Pentru n = 1 expresia scrisă pe stânga și dreapta sunt setate la 1. Aceasta înseamnă că baza de inducție este.

Ipoteza de inducție. Să presupunem că, pentru n = k, unde k ³ 1, egalitatea

Dreptul de mișcare. Fie n = k + 1. Atunci

Obține valoarea expresiei din partea stângă a acestei egalități atunci când n = k + 1. propoziția este demonstrată prin inducție completă.

Exemplu. Pentru fiecare b> 1 și natural n> 1 este adevărat Bernoulli inegalitatea b n ³ 1 + n (b - 1). Dovedește.