matricea de transformare liniara

Linear (vector) spațiu

Să presupunem că - o multitudine de elemente pentru care operațiile de adunare și înmulțire cu un număr, iar aceste operațiuni au următoarele proprietăți.

Pentru orice elemente. . dintre numeroasele

1) (comutativitatea);

2) (plus asociativitatea);

3) există într-o multitudine de elemente de zero, astfel încât pentru fiecare element. (Există Element zero);

4) pentru fiecare element de un element. astfel încât (existența membrului opus);

Numere reale pentru orice elemente arbitrare. pluralității;

7) Dreptul de distribuire;

Definiția. Setul este denumit (vector) spațiu liniar, iar elementele sale se numesc vectori.

Exemple de spațiul vectorial este un set de numere reale, setul de vectori pe un plan în spațiu, matrice etc.

În cazul în care numărul de operații de adunare și înmulțire sunt definite pentru elemente reale, liniar (vector) spațiul este un spațiu real în cazul în care elementele de complex - un spațiu complex.

Proprietățile spațiilor liniare

1) Fiecare spațiu liniar există doar un singur element de la zero.

2) Pentru fiecare element, există doar un element opus acesteia.

3) avem pentru fiecare element x;

4) Pentru fiecare și egalitatea x;

5) În cazul în care. sau ceva;

Definiția. Se spune că, în spațiu liniar sunt date o transformare liniară a A. dacă orice element al unei anumite reguli este asociat elementului.

Definiția. Transformarea A se numește liniar. dacă pentru orice vectori u și toate egalitati

Definiția. Transformarea liniara se numește identitatea. în cazul în care convertește fiecare element al unui spațiu liniar.

Scriem de transformare A pentru un element arbitrar. A = +. Verificați pentru a vedea dacă o regulă operațiunea de adiție este efectuată pentru această transformare: Evident, această ecuație este valabil numai în cazul în care O neliniară această transformare.

Definiția. Dacă există spațiu în vectorii de conversie liniară. celălalt vector este o combinație liniară a vectorilor.

Definiția. Dacă numai atunci când. atunci vectorii sunt numite liniar independente.

Definiția. Dacă spațiul liniar are n liniar vectori independenți și oricare dintre vectorii sunt liniar dependente, atunci spațiul se numește n-dimensional. un set de vectori liniar independenți se numește o bază a spațiului liniar.

Corolar. Orice vector al spațiului vectorial poate fi reprezentat ca o combinație liniară de vectori de bază.

matricea de transformare liniara

Să - spațiu liniar dimensional cu baza. ..., având în vedere o transformare liniară a A. Apoi vectorii. ... - sunt vectori ai acestui spațiu, iar acestea pot fi reprezentate ca o combinație liniară a vectorilor de bază:

În acest caz, matricea se numește matricea preobrazovaniyaA liniar. Să = + ... + - vector arbitrar în spațiu. atunci

Aceste ecuații sunt numite transformări liniare în baza. ...,.

In forma de matrice

Exemplu. Găsiți o matrice de transformare liniară specificată ca

În practică, acțiunea transformărilor liniare sunt reduse la acțiunile matricilor lor.

Definiția. Dacă vectorul este transferat în vectorul cu o matrice de transformare A liniare și vectorul într-un vector cu o matrice de transformare B. liniară aplicarea succesivă a acestor transformări este echivalentă cu transformarea liniară luând vectorul într-un vector (aceasta se numește componentele produsului transformărilor).

Exemplu. Având în vedere o transformare liniară ia vectorului într-un vector și transformarea unui vector de transformare V. liniar în vector. Găsiți matricea unei transformări liniare care transformă un vector într-un vector.

Notă. Dacă transformarea este singular.