matrice diagonalizable
In algebra liniara matrice pătratică A este numită diagonalisable. în cazul în care este similar cu o matrice diagonală. adică în cazul în care există o matrice non-singular P. astfel încât P -1 AP este o matrice diagonală. Dacă V - spațiu vectorial dimensional. liniar de cartografiere T. V → V este numit diagonalizable. în cazul în care există o bază ordonată în V. în care T este reprezentat ca o matrice diagonală. Diagonalizarea este un proces de a găsi o matrice diagonală corespunzătoare matricei sau mapare liniara diagonalisable. [1] O matrice pătrată, care nu poate fi diagonalizată, numit defect.
matrice Diagonalizability și afișa matrici interesante ca și diagonale doar de lucru: elementele diagonale exponentiation valorilor si vectorii sunt cunoscute, exponentiation se realizează, egal cu determinantul produsului elementelor diagonale. Din punct de vedere geometric matrice diagonalizable este o scalare neuniformă: fiecare direcție de întindere are loc, în general, cu un raport diferit în funcție de numărul de pe diagonală.
Faptul fundamental al hărților diagonalizable și matrici exprimate în următoarele afirmații.
- O matrice de dimensiune n × n peste câmpul F este diagonalisable dacă și numai dacă suma dimensiunilor eigensubspaces egală cu n. ceea ce este adevărat dacă și numai dacă există o bază de Fn. constând din vectori proprii A. Dacă o astfel de bază este găsit, este posibil să se creeze o matrice P. ale cărei coloane sunt vectorii de bază, iar P -1 AP este o matrice diagonală. Valorile de pe diagonala acestei matrice sunt valorile proprii ale lui A.
- Liniar de cartografiere T. V → V este diagonalizable dacă și numai dacă suma dimensiunilor eigensubspaces sale este dim (V), ceea ce este adevărat dacă și numai dacă există o bază pentru V. constând din vectori proprii ale T. În ceea ce privește această bază va fi prezentat T sub forma unei matrice diagonală. Elementele diagonale ale acestei matrice sunt valorile proprii ale lui T.
Matrix sau diagonalizable mapping liniară peste câmpul F dacă și numai dacă polinomul minimal este un produs al factorilor lineari peste câmpul F. Cu alte cuvinte, matricea diagonalizată dacă și numai dacă, atunci când toate separatoare polinomiale minimale sunt liniare.
Condiția următoare (suficientă, dar nu este necesar) este de multe ori de ajutor.
- O matrice de dimensiune n × n diagonalizată peste câmpul F. Dacă are n diferite valori proprii în F. adică dacă polinom caracteristic are rădăcini n distincte în F; invers nu poate fi adevărat. Să considerăm matricea
- Liniar mapping T. V → V când n = dim (V) este diagonalizable dacă are valori proprii n distincte, adică dacă polinomul caracteristic are rădăcini n distincte în F.
Fie A o matrice de peste F. Dacă A este diagonalizable, atunci oricare dintre gradul ei va fi diagonalizable. Dacă A este reversibilă, F este algebric închis, A n diagonalizable pentru unii n. Acesta nu este un multiplu al caracteristic F. diagonalizată.
aproape fiecare matrice este diagonalizable peste C. Mai precis: o multitudine de matrici complexe de dimensiune n × n. non diagonalizable C. peste atunci când se analizează un subset Cn × n este zero măsură Lebesgue. Se poate spune, de asemenea, că matricile diagonalizable formează un subset dens în cadrul topologia Zariski. In plus, un subset al setului de minciuni, în care discriminantul polinomul caracteristic este setat la zero, adică, pe hipersuprafață. Peste R nu se efectuează.
Jordan-Chevalley descompunere a operatorului este suma parte diagonalizable și nilpotent. Prin urmare, matricea este diagonalisable dacă și numai dacă o parte nilpotent este zero. Cu alte cuvinte, matricea este diagonalizată, forma Jordan în cazul în care fiecare unitate are parte nu nilpotente.
Dacă matricea poate fi diagonalizată, adică,
atunci ecuația de mai sus poate fi rescrisă ca
coloane Vectori P sunt vectorii proprii din dreapta ale A. respective elemente diagonale sunt valorile proprii. Reversibilitatea P, de asemenea, sugerează că vectorii proprii sunt liniar independente și formează o bază de Fn. Aceasta este o condiție necesară și suficientă pentru diagonalizability. Vectori rândurile P -1 sunt vectori proprii ale lui A. părăsit
În practică, Diagonalizarea matricea este realizată pe calculator. Există o serie de algoritmi. permițând realizarea a procesului.
Diagonalizarea din multitudinea de matrici
O multitudine de matrici este diagonalizable împreună, dacă există o matrice inversabilă unică P. astfel încât P -1 AP este o matrice diagonală pentru fiecare din multitudinea de A. Următoarea teoremă caracterizează matricea co-diagonalizable: setul de matrici este setul de matrici diagonalizable fac naveta dacă și numai dacă este co-diagonalizable. [2]
Setul de toate de mai sus sunt matrice diagonale C n x n când n diagonalizable> 1 nu este partajat. De exemplu, matricea
diagonalizable, dar nu împreună, pentru că ei nu fac naveta.
Include o multitudine de matrici de comutare în condiții normale, dacă și numai dacă este co-diagonalizată matrice unitară, adică există un U. matrice unitară astfel încât U * AU matrice diagonală A pentru oricare din multitudinea.
matrice diagonalizable
- Involuții diagonalizable pe numere reale (și peste orice domeniu a cărui caracteristică nu este egal cu 2), dispuse pe diagonală ± 1.
- Endomorphisms diagonalizable ordin finit peste C (sau deasupra celuilalt câmp algebric închis, în care caracteristica nu este un divizor al endomorphism ordine) vor fi amplasate pe rădăcinile diagonale ale unității. Polinomul minimal este separabilă. pentru că rădăcinile unității diferite.
- Proiectoarele diagonalizable, dispuse pe diagonală și 0 1.
- matrici reale simetrice diagonalizable folosind matrici ortogonale. Să considerăm o adevărată matrice A. Q T AQ diagonală unele Q. matrice ortogonala Într-un sens mai general, matricea unitară matricele diagonalizable dacă și numai dacă acestea sunt normale. În cazul unei reale matrice simetric = A T. Prin urmare, AA T = T A. Exemple de matrici normale sunt simetrice reale (sau oblic) a matricei și matricea Hermitian.
matrice nondiagonalizable
În general, matricea de rotație nu este diagonalizable peste reals dar matricea diagonalizable rotație peste câmpul numerelor complexe. Chiar dacă matricea nondiagonalizable, aceasta poate duce la „cele mai bune mijloace posibile“ și pentru a crea o matrice cu aceleași proprietăți, care conține valorile proprii pe diagonala principală și cele sau zerouri pe diagonala de mai sus, adică, Iordania formă normală.
Unele matrici nu sunt diagonalizable peste orice domeniu, printre ele, puteți specifica matrice nilpotent non-zero. Acest lucru se întâmplă în cazul în care numerele proprii algebrică și multiplicitatea geometrică nu se potrivesc. lua în considerare
Această matrice nu poate fi diagonalizată nu exista in care matricea U. U -1 CU este o matrice diagonală. C are valoare proprie (zero) algebric multiplicitatea 2 și multiplicitatea geometrică 1.
Unele matrice reală nu poate fi diagonalizată peste numere reale. Să considerăm matricea
Matrix B nu are valori proprii reale, deci nu există Q. matrice reală pentru care Q -1 BQ este diagonală. Dar peste câmpul numerelor complexe, am diagonalizată B. Dacă luăm în considerare
apoi Q -1 BQ diagonală.
Notă: Exemplele de mai sus arată că cantitatea de matrici diagonalizable nu este întotdeauna diagonalizable.
Ca matrice diagonalizată
Această matrice are valori proprii
A este o matrice de 3 x 3 cu 3 diferite valori proprii; Prin urmare, este diagonalizată. Rețineți că, dacă n × n matrice exact n valori proprii distincte, este diagonalizată.
De autovalorile diagonalizată vor apărea în forma A. Prin urmare, atunci când valorile proprii ale matricei A este diagonalizată. Puteți folosi vectorii proprii pentru diagonalizarea A.
A sunt vectorii proprii
Puteți verifica dacă v A k = λ k v k. = \ Lambda _V _.>
Fie P - matrice în care coloanele sunt vectorii proprii ale datelor.
Rețineți că, pentru coloanele P nici o ordine preferată; re-ordonarea în P schimba vectorii proprii numai ordinea autovalorile o formă diagonală A. [3]
P diagonalizes matrice A. Ce este ușor de văzut:
Acest lucru rezultă din faptul că baza pentru orice e standard de 1. e 2. e 3, E-, E-> echitabil
P - 1 A P e k = P - 1 A v k = P - 1 λ k v k = k λ e k. APe_ = P ^ Av_ = P ^ \ lambda _V _ = \ lambda _e _,>
unde am folosit faptul că P e k = v k = v_> este o coloană k P. deci P - 1 v k = e k v_ = e_>. Rețineți că valorile proprii λ k> a apărut într-o matrice diagonală.
Diagonalizarea pot fi utilizate pentru a calcula eficient matricei A. grade dacă diagonalizată matrice. Să presupunem că avem
P - 1 A P = D ⇒ P P - 1 A P P - 1 = P D P - 1 ⇒ A = P D P - 1. AP = D \ rightarrow PP ^ APP ^ = PDP ^ \ rightarrow A = PDP ^,>
unde D este o matrice diagonală. Apoi, prin asociativitatea produsului matrice
Ultimul produs este simplu de calculat, deoarece conține o mare parte din matricea diagonală. Această abordare poate fi generalizat la matrice funcții exponențiale și alte tipuri de matrice. deoarece acestea pot fi reprezentate ca o serie de putere.
Utilizarea privată a cazului
Luați în considerare următoarea matrice:
Calculul diferite grade de M conduce la un model interesant:
Acest fenomen poate fi explicat prin diagonalizarea M. Avem nevoie de o bază de R 2. constând din vectori proprii ale lui M. Una dintre bazele este
unde ei reprezintă baza standard de Rn. Reversia bazei este dată de expresiile
Calculele arată că
În consecință, a și b sunt valorile proprii corespunzătoare u și v. Prin liniaritate, obținem produsul matrice
Revenind la baza standard, constatăm că
1 M ne = M = Nu Ane 1. \ mathbf _ = M ^ \ mathbf = a ^ \ mathbf _,> M ne 2 = M n (v - u) = BNV - Anu = (bn - un) e 1 + bne 2. \ mathbf _ = M ^ (\ mathbf - \ mathbf) = b ^ \ mathbf -a ^ \ mathbf = (b ^ -a ^) \ mathbf _ + b ^ \ mathbf _>.
Relațiile de formă de matrice descrise mai sus are forma
ceea ce explică legea menționată.
Aplicarea mecanicii cuantice
In mecanica cuantica si calcule de chimie cuantica la matricea diagonalizare este unul dintre tratamentele cele mai utilizate. Motivul principal este că nu este ecuația Schrödinger este o ecuație pentru valorile proprii, cu aproape toate aplicațiile fizice dependente de timp - într-un (Hilbert) spațiu infinit dimensional. Abordările spațiu Hilbert aproximative înlocuit spațiu finit, după ecuația Schrodinger poate fi reformulat ca o problemă de a găsi autovalorile simetrice reale (sau complex Hermitian) matrice. Această abordare se bazează pe un principiu variațional.
- ↑ Horn Johnson 1985
- ↑ Horn Johnson 1985, pp. 51-53
- ↑ elementară Algebră liniară (Aplicații Version). - 8-a. - John Wiley Sons.