Linia 1 din prima comanda

Ecuația generală a unei linii drepte. Ecuația liniei cu o pantă. Unghiul dintre cele două linii drepte. Condiția paralele și perpendiculare pe cele două linii drepte

În coordonate carteziene, fiecare linie este definită de ecuația primul grad, și invers, fiecare ecuație de gradul întâi definește o linie dreaptă.

Se numește ecuația generală linie.

Unghiul alfa definit așa cum este prezentat în Fig. Se numește unghiul de înclinare al liniei la axa x. Unghiul de înclinare linie tangentă la axa x se numește coeficientul unghiular al liniei; acesta este de obicei notată cu litera k:

Ecuația y = kx + b ecuație se numește o linie dreaptă cu coeficient unghiular; k - panta, b - valoarea segmentului, care taie o linie pe axa y pornind de la origine.

Dacă linia dreaptă este definită de ecuația generală

atunci coeficientul său unghiular definit prin formula

Ecuația y-y0 = k (x-x0) este ecuatia unei linii drepte care trece prin punctul M0 (x0, y0) și are un coeficient k unghiular.

Dacă linia trece prin punctul M1 (x1, y1), M2 (x2, y2), atunci coeficientul său unghiular definit prin formula

este ecuația de o linie dreaptă care trece prin cele două puncte M1 (x1, y1), M2 (x2, y2)

Dacă se cunoaște coeficienți unghiular și k1 k2 a două linii, una dintre unghiurile dintre cp aceste linii este determinată prin formula

Criterii de paralelism a celor două linii este egalitatea coeficienților lor unghiulare:

Semn perpendicular pe două linii este raportul

k1k2 = -1, și k2 = -1 / k1

Ecuația liniei care trece prin punctul C (-5, 4), știind că lungimea segmentului său cuprins între liniile x + 2y + 1 = 0, x + 2y-1 = 0 este egal cu 5. A se vedea decizie.

Ecuațiile line incomplete. Un studiu comun ecuația a două sau trei linii. Ecuația liniei în segmente

Dacă în ecuația generală a unei linii drepte

unul sau doi dintre cei trei factori (numărarea și termenul liber) dispar, ecuația se spune că este incompletă. În următoarele cazuri:

1). C = 0; ecuație are forma Ax + By = 0, și determină o linie dreaptă care trece prin origine.

2). B = 0 (A ≠ 0); ecuație are forma Ax + C = 0 și definește linia dreaptă perpendiculară pe axa x. Această ecuație poate fi scrisă sub forma x = a, unde a = -C / A este segmentul de valoare, care taie linia pe axa x pornind de la origine.

3). B = 0, C = 0, (A ≠ 0); ecuație poate fi scrisă ca x = 0 și definește axa ordonatelor.

4). A = 0 (V ≠ 0); ecuație are forma Prin + C = 0 și definește linia dreaptă perpendiculară pe axa y. Această ecuație poate fi scrisă ca y = b, unde b = -C / B este segmentul de valoare, care taie linia pe axa y pornind de la origine.

5). A = 0, C = 0 (V ≠ 0); ecuație poate fi scrisă ca y = 0 și definește axa abscisă.

Dacă nici unul dintre coeficienții ecuației (1) nu este nulă, ea poate fi transformată în forma

unde a = -C / A, segmentele b = -C / B sunt cantități care taie linia pe axele de coordonate.

Ecuația (2) este ecuația liniei „în intervalele“.

Dacă două linii drepte dată de ecuațiile

A1x + B1y + C1 = 0 și A2X + B2y + C2 = 0,

pot exista trei cazuri:

a). A1 / A2 ≠ B1 / B2 - linii au un punct comun;

b). A1 / A2 = B1 / B2 ≠ C1 / C2 - liniile sunt paralele;

c). A1 / A2 = B1 / B2 = C1 / C2 - linii îmbinare, adică ambele ecuații definesc aceeași linie.

Se determină la ce valoare a unei linii drepte:

1) paralel cu axa absciselor;

2) paralel cu axa y;

Ecuația unei linii drepte care trece prin punctul C (1, 1) și reducerile de coordonate unghi triunghi, cu o suprafață egală cu 2. A se vedea decizie.

Ecuația normală a liniei. Distanța de la punctul de la linia

Să presupunem că pe planul xy al liniei de date. Desenați prin origine perpendicular pe linia de date și apel normal acesteia. Vom nota cu P punctul de intersecție al normalei la această linie dreaptă și să stabilească o direcție pozitivă normal de la punctul O la punctul P.

Dacă alfa - unghiul polar al normale, p - lungimea segmentului OP (. Rice), ecuatia acestei linii poate fi scrisă sub forma

xcosa + ysina - p = 0

acest tip de ecuație se numește normal.

Să se dea un fel de directă și un punct arbitrar M *; denotă distanța d de la punctul M * la o anumită linie. Abaterea δ punctul M * al liniei drepte este numărul de + d, iar dacă acest punct este minciuna de origine pe diferite părți ale unei anumite linii, și -D, în cazul în care acest punct, iar originea se află pe o parte a acestei linii. (Pentru punctele situate pe linia în sine, δ = 0). Cu condiția ca coordonatele x *, y * punct M * și normală ecuație linie dreaptă xcosa + ysina - p = 0, punctul M * deviație δ pe această linie dreaptă poate fi calculată cu formula

δ = x * cosa + y * sina - p

Astfel, pentru a găsi deviația oricărui punct M * dintr-o anumită linie, aveți nevoie de partea stângă a ecuației normale a acestei linii drepte în locul poziției curente coordonatele punctului substitut M *. Numărul rezultat va fi egală cu abaterea dorită.

Pentru a găsi o distanță d de la punctul de la linia. este suficient să se calculeze abaterea și să-l modul: d = | δ |.

În cazul dat ecuația generală a liniei Ax + By + C = 0, apoi să-l aducă la normal, ai nevoie de toți membrii acestei ecuații este multiplicată cu un factor de normalizare μ, definit prin formula

Sign factor de normalizare ales opusă celei a termenului liber al ecuației normalizat.

vertex consecutiva a patrulater punctului ABCD A (-1, 6), B (-1, -4), C (7; -1), D (2, 9). Pentru a stabili dacă acesta este un patrulater convex. A se vedea soluția.

Ecuația fasciculului directă

Setul de linii care trec printr-un punct S, se numește un fascicul direct cu centrul S.

Dacă A1x + B1y + C1 = 0 și A2X + B2y + C2 = 0 - ecuație două linii care se intersectează în punctul S, atunci ecuația

alfa (A1x + B1y + C1) + beta (A2X + B2y + C2) = 0 (1)

unde alfa, beta - tot felul de numere, nu toate la zero, definește o linie dreaptă, de asemenea, trece prin punctul S.

Mai mult decât atât, în ecuația (1) alfa, beta întotdeauna să fie alese astfel încât să fie determinată orice trece prin punctul S linia (pre-alocate), cu alte cuvinte, orice linie de fascicul S. Prin urmare, centrul formei ecuației (1) este ecuația grindă (cu centrul S).

Dacă alfa ≠ 0, împărțind ambele părți ale ecuației (1) și setarea alfa beta / alfa = lambda obține

A1x + B1y + C1 + lambda (A2X + B2y + C2) = 0 (2)

Această ecuație poate defini orice grindă dreaptă cu centru S, cu excepția faptului că ceea ce corespunde alfa = 0. adică, în afară de directă

Găsiți ecuația unei linii drepte aparținând alfa snop direct (x +-2y 5) + beta (3x-2y + 1) = 0 și

1) care trece prin punctul A (3, -1);

2) care trece prin origine;

3) paralelă axa Ox;

4) paralelă axa Oy;

Ecuația polară a liniei

O linie trasată prin pol perpendicular pe linia dată, este numit normal. Vom nota cu P punctul în care intersectează linia normală; pentru a stabili direcția pozitivă normală din punctul O la punctul P. Unghiul la care doriți să se rotească axa polară pentru ao suprapune pe segmentul PO, vom fi numit unghiul polar normal.

Derivarea ecuația polară a unei linii, distanța față de cunoașterea p pol și unghiul polar al alfa normale se vedea decizie.