Limita unei secvențe numerice, platforma de conținut

3. secvență numerică tracțiune

3.1. Conceptul de ordine numerică și funcția unui argument naturale

Definiție 3.1. secvență numerică (într-o secvență de mai târziu) se numește un set ordonat de numere numărabilă

Să acorde o atenție la două puncte.

1. Secvența de infinit de multe numere. În cazul în care un număr finit de numere - nu este secvența!

2. Toate numerele în ordine, care este aranjat într-o anumită ordine.

În viitor, secvența se va folosi de multe ori xn abrevierea>.

Mai sus secvențele pot fi efectuate anumite operații. Luați în considerare unele dintre ele.

1. Multiplicarea secvenței număr.

Secvența c × xn> - o secvență cu elemente c × xn>, adică,

2. adunare și scădere secvențe.

sau, mai în detaliu,

3. Secvențele de înmulțire.

4. Secvențele divid.

Firește, se presupune că, în acest caz, toate yn ¹ 0.

Definiția 3.2. Xn secvență> se numește mărginită de mai sus, dacă.

Xn secvență> se numește mărginită de mai jos, dacă Secvența este numită mărginită dacă este mărginită atât deasupra cât și dedesubt.

3.2. secvență de tracțiune. O secvență infinită

Definiția 3.3. Numărul a este denumit limita secvenței xn> ca n abordări infinit dacă

Pentru acest fapt, următoarele simboluri:

Subliniem că N depinde de e.

Se spune că, în cazul.

Se spune că, în cazul.

Definiția 3.4. Xn secvență> se numește infinit dacă (adică, dacă).

3.3.Beskonechno secvență mică.

Definiția 3.5. O secvență este infinitezimal, în cazul în care, adică, în cazul în care.

Secvențele infinitesimale au următoarele proprietăți.

1. Suma și diferența de secvențe infinitezimale este de asemenea secvență infinitezimal.

2. secvența infinitezimal este mărginită.

3. Produsul a secvenței secvenței delimitată infinitezimal este o secvență infinitezimal.

4. Dacă xn> - infinit de mare secvență, apoi, începând cu unele N. Secvența xn> și este o secvență infinitezimal. Invers, dacă xn> - o xn secvență infinitezimal și toate diferite de zero, atunci xn> este o secvență infinit de mare.

secvență 3.4.Shodyaschiesya.

Definiția 3.6. În cazul în care există o limită finită, atunci secvența xn> se numește convergentă.

Secvențele Convergent au următoarele proprietăți.

1. Secvența convergent este mărginită.

salt 3.5.Predelny în inegalitățile.

Teorema 3.1. În cazul în care, începând cu unele N. toate xn ³ b. atunci.

Corolar. În cazul în care, începând cu unele N. toate xn ³ YN. atunci.

Notă. Rețineți că, în cazul în care, începând cu unele N. toate xn> b. ceva care este la limita inegalitatea strictă se poate mișca în laxe.

Teorema 3.2. ( „Strângeți teorema“) Dacă pornind de la un anumit N. următoarele proprietăți

3.6. secvență monotonă de tracțiune.

Definiția 3.7. Xn secvență> se numește monoton crescătoare, dacă pentru orice nxn + 1 ³ xn.

Xn secventa> numit strict monoton crescătoare în cazul în care pentru fiecare nxn + 1> xn.

Ambele aceste cazuri sunt combinate simbol xn -.

Definiție 3.8. Xn secvență> se numește uniform în scădere, dacă pentru orice nxn + 1 £ xn.

Xn secvență> se numește strict monoton descrescătoare, dacă pentru orice nxn + 1

Ambele aceste cazuri sunt combinate simbol xn ¯.

O teorema privind existența limitei unei secvențe monotonă.

1. Dacă xn secvență> crește uniform (descrește) și este delimitată de mai sus (mai jos), atunci are o limită finită pentru supxn> (infxn>).

2 Dacă xn secvență> crește monoton (scade), dar mai sus (mai jos) nu este limitată, că are o limită de + ¥ (- ¥).

Pe baza acestei teoreme a demonstrat că există o limită așa-numitul remarcabil

Să presupunem că există o secvență xn> = x1, x2, x3,.>. Luați în considerare secvența n1, n2, n3. unde

a) toate ni - numere întregi pozitive;

și ia în considerare secvența. Se numește o subsecventa a secvenței xn>.

Teorema 3.3. În cazul în care secvența xn> converge și limita este. atunci orice subsecvență, de asemenea, converge și are aceeași limită.

Dacă xn> - infinit de mare, atunci orice subsecvență există, de asemenea, infinit de mare.

Lema Bolzano - Weierstrass.

1 poate extrage un subsir De la orice secvență care converge mărginit la o limită finită.

2. poate extrage un subsir infinit De la orice secvență nemarginita.

Pe baza acestei Lema este dovedit a fi una dintre principalele rezultate ale teoriei limitelor - convergență Simptom Bolzano-Cauchy.

Pentru a avea o secvență de xn> a existat o limită finită, este necesar și suficient ca

Secvență satisfăcând această proprietate se numește o secvență fundamentală, sau o secvență convergente în sine.