Legea numerelor mari 2
1) Principiul imposibilității practice de evenimente improbabile. Modul de redactare a legii numerelor mari.
2) Lema Markov. Inegalitatea Teorema și Cebîșev. Teorema lui Bernoulli si Poisson. Teorema Laplace.
3) Teorema limită centrală.
1) A fost menționat mai devreme, este imposibil de prezis care dintre valorile posibile ale variabilei aleatoare va lua, deoarece nu putem lua în considerare toate circumstanțele care afectează evenimentul. Cu toate acestea, în unele cazuri, puteți indica probabilitatea unui astfel de eveniment. Experiența sugerează că evenimentele, probabilitatea de apariție este mică, rareori apar și evenimente cu o probabilitate aproape de unitate, este aproape sigur să apară.
Principiul constă în acest caz puțin probabil, în practică, este considerat ca fiind imposibil, se numește „principiul imposibilității practice de evenimente improbabile.“ Evenimentele care au loc cu probabilități, foarte aproape de unitate, considerată a fi practic semnificativă (principiul certitudinii practice). Nu contează cât de mici sau cât de mare trebuie să fie probabilitatea evenimentului depinde de aplicarea practică a importanței acestui eveniment.
Prin urmare, una dintre principalele sarcini ale teoriei probabilității este stabilirea legilor originare cu o probabilitate aproape de unitate. Aceste modele trebuie să ia în considerare influența combinată a unui număr mare de factori, care acționează în mod independent (sau slab dependente). In plus, fiecare factor individual se caracterizează printr-un ușor impact. Orice propunere care stabilește legile menționate mai sus, numită legea numerelor mari. Legea numerelor mari, prin definiție, profesorul AY Khinchin, ar trebui să menționăm principiul general prin care efectul combinat al multor factori rezultate în anumite condiții foarte generale, rezultatul este aproape nu depinde de șansă.
Unele dintre condițiile specifice în care legea numerelor mari, sunt enumerate în teorema lui Cebîșev, Bernoulli, Poisson și Lyapunov.
2) Lema Markov. Inegalitatea Teorema și Cebîșev. Teorema lui Bernoulli si Poisson.
Lema 3.3.1 (Markov lema). Să - variabile aleatoare ia numai valori non-negative și există așteptări ei. apoi pentru fiecare dintre următoarele inegalități:
Inegalitățile (3.3.1) și (3.3.2) se numește inegalitățile Markov.
Luați în considerare acum variabila aleatoare. având o medie și variație. Estimăm probabilitatea evenimentului constă în faptul că abaterea nu va depăși valoarea absolută a unui număr pozitiv. Calificarea a declarat probabilităților obținute folosind inegalitatea lui Cebîșev.
3.3.1 Teorema (inegalitatea Cebîșev lui). Probabilitatea ca o deviație variabilă aleatoare de așteptare în valoare absolută mai mică decât numărul pozitiv. nu mai puțin. și anume
Inegalitatea (3.3.3) se numește inegalitatea Cebîșev.
Notă 3.3.1. inegalitatea Cebîșev poate fi scrisă într-o altă formă:
În forma (3.3.3), se stabilește o limită de probabilitate mai mici evenimente, ci sub forma (3.3.4) - partea de sus.
Luați în considerare un număr suficient de mare de variabile aleatoare independente. În cazul în care numărul lor de dispersie limitată. evenimentul, care constă în faptul că abaterea media aritmetică a acestor valori aleatoare de la media lor aritmetică a așteptărilor este valoarea absolută a unui mod arbitrar mici, este aproape sigur. Această ipoteză referitoare la legea numerelor mari, sa dovedit PL Cebîșev.
Teorema 3.3.2 (teorema lui Cebîșev). În cazul în care variabilele aleatoare sunt independente și există un număr. că pentru orice numere,
și anume media aritmetică a acestor variabile aleatoare converge în probabilitate de media aritmetică a așteptărilor lor matematice:
Din teorema Cebîșev afirmație constă în faptul că media aritmetică a unui număr suficient de mare de variabile aleatoare independente cu variație finită, pierderea cantității aleatoare și deterministe devine.
Exemplul 3.3.1. Dispersia fiecare dintre 6250 variabile aleatoare independente nu depășește 9. Rata de probabilitate ca valoarea absolută a abaterii de media aritmetică a acestor variabile aleatoare din media aritmetică a așteptărilor lor matematice nu depășesc 0,6.
Decizie. Conform teorema lui Cebîșev, probabilitatea este necesară nu mai puțin. În conformitate cu termenii problemei. . . Prin urmare.
Menționăm câteva cazuri speciale importante ale Teorema Cebîșev.
Teorema 3.3.3 (teorema lui Bernoulli). Să făcut studii independente, în fiecare dintre care probabilitatea de apariție a unui eveniment este constantă și egală. Apoi, pentru orice număr,
în cazul în care - frecvența de apariție a evenimentului.
Rezultă că
Exemplul 3.3.2. Întreprinderea care produce tuburi de imagine, toate produsele pot rezista la 0,8 perioadă de garanție. Cu o probabilitate mai mare de 0,95, găsiți limitele, care este proporția de tuburi de imagine, care poate rezista perioada de garanție, tuburile de imagine Party 8000.
Decizie. Se aplică teorema lui Bernoulli pentru. 0,95, și.
Înlocuim în egalitate;
Inegalitatea obține 0,78 0,82.
Notă 3.3.2. Teorema lui Bernoulli se referă la cazul în care toate testele efectuate în aceleași condiții, și probabilitatea de apariție a unui eveniment în toate acestea este aceeași și este egală cu
Pentru cazul mai general în cazul în care probabilitățile sunt diferite, se aplică teorema lui Poisson.
Teorema 3.3.4 (Teorema lui Poisson). În cazul în care studiile independente probabilitatea de apariție a unui eveniment în proces-lea este.
Exemplul 3.3.3. Produsă 900 studii independente, cu 450 de aceste teste, probabilitatea de evenimente este 2/3, 200-0.5 160-0.3 și la 90 - 0.4. Găsiți estimează probabilitatea ca frecvența de apariție eveniment deviază în mărime de la medie nu mai mare de 0,1 probabilitate.
Decizie. Noi folosim teorema lui Poisson. Și noi găsim:
Substituind partea dreaptă a inegalității
valori. . și. Obținem 0,95.
Notă 3.3.3. Teorema lui Bernoulli este un caz special de teorema lui Poisson.
De fapt, în cazul în care probabilitatea de apariție a unui eveniment în fiecare proces este constantă. atunci.
Notă 3.3.4. În cazurile în care probabilitatea de apariție a unui eveniment în fiecare studiu este necunoscut, limita superioară a varianței luând 1/4, adică,
teorema lui Cebîșev, Bernoulli, Poisson stabili o limită de probabilitate că nu este suficient de multe ori mai mic. În unele cazuri, este destul de important să se cunoască valoarea exactă a probabilității. Faceți cunoștință cu această cerință așa-numitele teoreme limită ale legii numerelor mari.
Teorema 3.3.5 (Teorema Laplace locală). În cazul în care probabilitatea de apariție a evenimentului în fiecare dintre studiile independente este egală cu una și aceeași constantă. probabilitatea ca toate aceste încercări, evenimentul va apărea exact o dată, este de aproximativ exprimat prin formula
Notă 3.3.5. Funcție Tabelul (3.3.12) la valori pozitive indicate în apendicele B, reprezentat funcția de paritate negativă, adică
Teorema 3.3.6 (Teorema Laplace Integral). În cazul în care probabilitatea de apariție a evenimentului în fiecare dintre studiile independente este egală cu una și aceeași constantă. probabilitatea ca toate aceste încercări, evenimentul va apărea cel puțin o dată sau de mai multe ori, este de aproximativ determinată prin formula
Formula (3.3.13) poate fi scrisă într-o altă formă:
în cazul în care - funcția Laplace, adică,
și așa cum este determinat prin ecuațiile (3.3.15).
Notă 3.3.6. Tabelul Funcția Laplace pentru valori pozitive se referă la nota; pentru valori sugerează că, pentru a lua în considerare funcția de ciudat negativ. și anume
Notă 3.3.7. Formulele Laplace aproximare (3.3.11) și (3.3.16) sunt, în practică, în cazul. În cazul în care. aceste formule duce la erori mari.
Prin urmare, expresie suficient de precisă a teoremei lui Bernoulli este o teorema lui Laplace integral. Formula asimptotică pentru teorema Cebîșev a dovedit AM său elev Lyapunov. Aici este teorema lui Lyapunov fără dovezi.
3) Teorema limită centrală.
Teorema 3.3.7 (teorema lui Lyapunov). Luați în considerare variabile aleatoare independente. care îndeplinesc următoarele condiții:
a) Toate valorile au anumite așteptări și variații finite;
b) nici una dintre valorile nu este eliberat brusc de celelalte în valorile lor.
Apoi, în conformitate cu creșterea nerestricționată a distribuției variabilei aleatoare este aproape de legea normală.
Astfel, avem următoarea ecuație asimptotică:
Exemplul 3.3.4. Variația fiecăreia dintre cele 400 de variabile aleatoare independente este egală cu 25. Găsiți probabilitatea ca valoarea absolută a abaterii mediei aritmetice a variabilelor aleatoare din media aritmetică a așteptărilor lor matematice, nu va depăși 0,5.
Decizie. Teorema lui Lyapunov este aplicabil. Potrivit problemei. . prin urmare, 0,5. Înlocuind aceste date în formulă. Obținem. în cazul în care.
Exemplul 3.3.5. Greutatea medie a tuberculilor de cartof este de 120 g Care este probabilitatea ca un tubercul de cartof ales aleator nu cantareste mai mult de 360 g?
Decizie. Estimarea dorită probabilitate de Formula (3.3.1). variabilă aleatoare - greutatea tuberculilor - notat. Cu condiția. . Folosind inegalitatea (3.3.1), obținem
Exemplul 3.3.6. Numărul mediu de tineri profesioniști anual la școală absolvent de 200 de persoane. Evalua probabilitatea ca nu mai mult de 220 de tineri profesioniști vor fi trimise la școală absolvent într-un anumit an.
Decizie. În acest exemplu. . Aplicarea (3.3.1), găsim
Exemplul 3.3.7. Judecă probabilitatea ca 3600 aruncarea independentă a unui număr de apariții mor de 6 puncte nu este mai mică de 900.
Decizie. Să - numărul de apariții de 6 puncte la 3.600 aruncări, atunci. Noi folosim inegalitatea (3.3.2), obținem
Exemplul 3.3.8. Variabila aleatoare este dispersie. Care este probabilitatea ca o variabilă aleatoare diferă de mai mult de 0,1?
Decizie. În prima inegalitatea Cebîșev
Exemplul 3.3.9. Pentru variabila aleatoare este dispersia cunoscută și inegalitate. Găsiți valoarea.
Decizie. Conform formulei (3.3.3), obținem
Din aceste două inegalități care
Exemplul 3.3.10. Valoarea medie a lungimilor de piese este de 50 cm, iar dispersia este de 0,1. Evaluați probabilitatea ca elementul se va face de-a lungul lungimea sa nu este mai mică de 49,5 cm și nu mai mult de 50,5 cm.
Decizie. Din moment ce aici. apoi starea. în care valoarea aleatoare reprezintă posibila lungimea elementelor este dată prin scăderea numărului formularului.
Aplicarea (3.3.3) și pentru cazul. obținem:
Exemplul 3.3.11. Germinarea semințelor unei culturi este de 0,75. Evalua probabilitatea ca a plantat 1000 de semințe germinate număr va fi între 700 și 800 inclusiv.
Decizie. În această sarcină. prin urmare, valorile limită ale variabilei aleatoare sunt simetrice.
Prin urmare, de la inegalitate pot merge la inegalitățile
și aceasta coincide cu partea stângă (3.3.3) când. Valoarea se măsoară prin formula
Având în vedere că,
Obținem partea dreaptă a (3.3.3):
Exemplul 3.3.12. Probabilitatea de producere a pieselor non-standard, în anumite condiții de proces este de 0,1. Evalua probabilitatea ca numărul de piese non-standard între 10.000 vor fi încheiate în intervalul 950-1030, inclusiv.
Decizie. Numărul de piese personalizate în această sarcină este o variabilă aleatoare. distribuite pe legea binomială. În conformitate cu formulele
Prin urmare, limitele valorilor admise ale variabilei aleatoare nu este simetrică în raport cu așteptările, deoarece
frontieră lăsat mai puțin de 1000 - 950 = 50,
și granița dreapta mai mult pe 1030 - 1000 = 30.
Prin urmare, pentru a aplica inegalitatea Cebîșev pentru a estima probabilitatea acestui eveniment nu poate fi.
Pentru a utiliza inegalitatea Cebîșev a devenit posibilă, frontiera dreapta ar trebui să fie mai mare decât așteptările de 50, și anume, trebuie să fie egală cu 1050. Având în vedere faptul că dubla inegalitatea
Aplicăm inegalitatea (3.3.3) și atunci când:
Exemplul 3.3.13. Găsiți probabilitatea ca frecvența de apariție a celor șase 10.000 de aruncări independente ale unei matrițe se abate de la probabilitatea de apariție a șase modulo mai mică de 0,01.
Decizie. Noi folosim inegalitatea
În acest caz. . . prin urmare
Exemplul 3.3.14. Când ștanțarea plăcile de căsătorie de plastic este de 3%. Găsiți probabilitatea ca partidul de control 1000 de înregistrări nu a găsit nici o diferență față de un procent fix de căsătorie este mai mică de 1%.
Decizie. Dintre condițiile problemei, rezultă că. . . .
În conformitate cu formula
Astfel, probabilitatea necesară.
Exemplul 3.3.15. Pentru a determina cât de mult pentru a face măsurători ale secțiunilor transversale de copaci într-o zonă de mare pentru mediu diametrul arborelui diferit de valoarea reală nu este mai mare de 2 cm, cu o probabilitate mai mică de 0,95 nu. Deviația standard a secțiunii transversale a arborilor nu depășește 10 cm, iar măsurătorile se efectuează fără eroare.
Decizie. Presupunem alegerea copaci pentru astfel de măsurători, care pot fi luate în considerare rezultatele măsurătorilor variabile aleatoare independente. Notăm de rezultatele măsurării lea arborele secțiunii transversale. Potrivit problemei
Crezând în inegalitate
Prin urmare, este suficient să se efectueze măsurători ale secțiunii transversale 500 de copaci.
Exemplul 3.3.16. Germinarea semințelor unor plante este de 70%. Găsiți probabilitatea ca la semănat semințe 10000 Abaterea proporția semințelor germinate de probabilitatea ca fiecare dintre ele va crește, nu va depăși valoarea absolută a 0,01.
Decizie. Folosind formula (3.3.7)
Din condiția rezultă că. . . a.
În conformitate cu formula obținem
Exemplul 3.3.17. Probabilitatea de apariție a unui eveniment în fiecare din cele 900 de studii independente este egală. Găsiți probabilitatea ca un eveniment va avea loc: a) 750 de ori; b) 710 de ori.
Decizie. Din condiția rezultă că. Prin urmare; în primul caz. în al doilea caz.
Deoarece. puteți utiliza cu formula (3.3.10) sau (3.3.11) - (3.3.13).
Formula (3.3.12) definesc:
Pentru valorile din tabel funcției (3.3.13) vom găsi
Conform (3.3.11), obținem probabilitatea necesară
În mod similar, vom găsi probabilitatea de al doilea eveniment, ținând cont de funcția de paritate (3.3.13):
Exemplul 3.3.18. De câte ori cu probabilitate 0,0484 ne putem aștepta la apariția unor evenimente în 100 de studii independente, în cazul în care probabilitatea apariției acestora într-un proces separat este de 0,5?
Decizie. Folosind formula (3.3.10), de condiția. . . ; care urmează să fie determinată.
Formula (3.3.12), găsim:
Formula (3.3.11) ia forma
Din valorile funcției de masă este determinată de:
Substituind această valoare în expresie. obține
Pentru că - un număr întreg, atunci.
Exemplul 3.3.19. Probabilitatea de apariție a unui eveniment în fiecare din cele 900 de studii independente este egală. Găsiți probabilitatea ca un eveniment va avea loc cel puțin 710 de ori și nu mai mult de 740 de ori.
Decizie. Cu condiția. . . . asa.
În conformitate cu formulele (3.3.15) găsim
Conform tabelului funcției Laplace (a se vedea. Aplicație) dat funcții impare definesc
În conformitate cu formula (3.3.16), obținem probabilitatea dorită
Exemplul 3.3.20. Probabilitatea ca becul fabricat conform înfășurării este defect, este de 0,02. Pentru a controla selectat la întâmplare în 1000 de becuri. Estimarea probabilității că frecvența becurilor defecte în eșantion diferă de probabilitatea de 0,02 mai mic de 0,01.
Decizie. Notăm prin - numărul de bulbi defecte în eșantion. Trebuie să evalueze probabilitatea inegalității
De aceea găsim, în ce frontiere conțin numere: