Laplace Teorema locală - studopediya
Bernoulli formula de mai sus a fost derivată, ceea ce permite să se calculeze probabilitatea ca evenimentul va apărea în n încercări exact k ori. În derivarea, am presupus că probabilitatea de apariție a unui eveniment în fiecare proces este constantă. Este ușor de observat că utilizarea formulei lui Bernoulli pentru valori mari ale lui n destul de greu. deoarece formula necesită o acțiune pe un număr foarte mare.
De exemplu, dacă n = 50, k = 30, p = 0,1. atunci probabilitatea de a găsi un P50 (30) este necesar să se evalueze expresia
în cazul în care 50! = 30414093 • 10 57. 30! = 26525286 • 10 25. 20! = 24329020 • 10 11. Este posibil să se simplifice calculele, folosind tabele speciale ale logaritmilor factorialele. Cu toate acestea, în acest fel este greoaie și are, de asemenea, un dezavantaj semnificativ: tabele furnizează valori aproximative ale logaritmi, astfel încât în procesul de acumulare a erorilor de calcul; în cele din urmă rezultatul final poate să difere semnificativ de valoarea reală.
Se pune întrebarea în mod natural: dacă pentru a calcula probabilitatea de interes, fără a recurge la formula nu Bernoulli? Se pare că poți. Local Laplace Teorema da asimptotic [1] o formulă care permite să găsească aproximativ probabilitatea de evenimente în rovnokraz n cadrul studiilor, în cazul în care numărul de test este suficient de mare.
Rețineți că, în special, cazul, și anume, p = 1/2. Formula asimptotică a fost găsit în 1730 Moivre; în 1783 Laplace rezumate formula Moivre pentru p arbitrar. altele decât 0 și 1. Prin urmare, Teorema, care este în discuție aici, este uneori numit teorema lui de Moivre-Laplace.
Dovada teoremei locale Laplace este destul de dificil, asa ca vom da doar declarația teoremei și exemple care ilustrează utilizarea acestuia.
Teorema Laplace locală. În cazul în care probabilitatea p de apariție a evenimentului A în fiecare proces este constantă și diferită de zero și unu, probabilitatea Pn (k) faptul că evenimentul A va apărea în n încercări exact k ori, este aproximativ egal cu (, mai mult n mai precis) valoarea funcției
când x = (k-np) / √npq.
Există tabele care, plasate valori ale funcției corespunzătoare unor valori pozitive ale argumentului x (vezi. Anexa 1). Pentru valori negative ale argumentului sunt aceleași tabele ca trăsătură # 966; (x) este chiar, adică .. # 966; (- x) = - # 966; (x).
Deci, probabilitatea ca evenimentul A va apărea în n studii independente k exact ori, este aproximativ egal cu
Exemplul 2. Găsiți probabilitatea ca evenimentul A are loc exact de 80 de ori în 400 de studii clinice în cazul în care probabilitatea de apariție a evenimentului în fiecare studiu este de 0,2.
Decizie. Prin ipoteză, n = 400; k = 80; p = 0,2; q = 0,8. Noi folosim formula asimptotică Laplace:
Calculăm sarcină definită de valoarea de date x:
x = (k-np) / √npq = (80 - 400 * 0,2) / 8 = 0.
Prin tabelul de aplicare 1 găsim # 966; (0) = 0.3989.
Formula lui Bernoulli produce aproximativ același rezultat (datorită calculelor lor greoaie sunt omise):
Exemplul 3 kill țintă probabilitate shooter cu un shot p = 0,75. Găsiți probabilitatea ca la un shooter de 10-shot a lovit ținta de 8 ori.
Decizie. Prin ipoteză, n = 10; k = 8; p = 0,75; q = 0,25. Noi folosim formula asimptotică Laplace:
Calculăm sarcină definită de valoarea de date x:
Prin tabelul de aplicare 1 găsim # 966; (0,36) = 0.3739.
Probabilitatea dorită este:
Formula Bernoulli conduce la un rezultat diferit, și anume P10 (8) = 0,282. O astfel de răspunsuri semnificative discrepanță datorită faptului că, în exemplul de față, n are o valoare mică (ecuația lui Laplace oferă o aproximare destul de bună pentru valori suficient de mari ale lui n).